§ 4. Калибровочная инвариантность

Как известно, выбор потенциалов поля в классической электродинамике неоднозначен: компоненты 4-потенциала можно подвергнуть произвольному калибровочному (или градиентному) преобразованию вида

где х — произвольная функция координат и времени (см. II, § 18).

Для плоской волны, если ограничиться преобразованиями, не меняющими вида потенциала (его пропорциональности множителю ), неоднозначность сводится к возможности прибавления к амплитуде волны любого 4-вектора, пропорционального 4-вектору .

Неоднозначность потенциала сохраняется, конечно, и в квантовой теории — применительно к операторам поля или к волновым функциям фотонов. Не предрешая способа выбора потенциалов, надо писать вместо (2,17) аналогичное разложение для операторного 4-потейциала

(4.2)

где волновые функции — 4-векторы вида

или в краткой записи, опуская четырехмерные векторные индексы:

Здесь 4-импульс (так что ), а — единичный 4-вектор поляризации.

Если ограничиться калибровочными преобразованиями, не меняющими зависимости функции (4,3) от координат и времени, то они будут состоять в замене

где — произвольная функция. Поперечность поляризации означает, что всегда возможна такая калибровка, при которой 4-вектор имеет вид

(такую калибровку мы будем называть трехмерно поперечной). В инвариантном четырехмерном виде это требование записывается в виде условия четырехмерной поперечности

Обратим внимание на то, что это условие (как и нормировочное условие не нарушается преобразованием (4,4) в силу того, что . С другой стороны, равенство нулю квадрата 4-импульса частицы означает равенство нулю ее массы. Тем самым выявляется связь между калибровочной инвариантностью и равенством нулю массы фотона (другие аспекты этой связи будут указаны в § 14).

Никакие измеримые физические величины не должны меняться при калибровочном преобразовании волновых функций фотонов, участвующих в процессе. Это требование калибровочной инвариантности играет в квантовой электродинамике даже большую роль, чем в классической теории. Мы увидим на многочисленных примерах, что оно является здесь, наряду с требованием релятивистской инвариантности, мощным эвристическим принципом.

В свою очередь калибровочная инвариантность теории тесно связана с законом сохранения электрического заряда; мы остановимся на этом ее аспекте в § 43.

Мы упоминали уже в предыдущем параграфе, что координатная волновая функция фотона не может быть истолкована как амплитуда вероятности его пространственной локализации. В математическом аспекте это обстоятельство проявляется в невозможности составить с помощью волновой функции величину, которая уже хотя бы по своим формальным свойствам могла играть роль плотности вероятности. Такая величина должна была бы выражаться существенно положительной билинейной комбинацией из волновой функции и ее комплексно-сопряженной. Кроме того, она должна была бы удовлетворять определенным требованиям релятивистской ковариантности — представлять собой временную компоненту 4-вектора (дело в том, что уравнение непрерывности, выражающее сохранение числа частиц, записывается в четырехмерном виде как равенство нулю дивергенции 4-вектора тока; временной компонентой последнего и является в данном случае плотность вероятности локализации частицы, см. II, § 29). С другой стороны, в силу требования калибровочной инвариантности 4-вектор мог бы входить в ток лишь в виде антисимметричного тензора . Таким образом, 4-вектор тока должен был бы составляться билинейно из F и (и компонент 4-вектора ). Но такой 4-вектор вообще невозможно составить: всякое выражение, удовлетворяющее поставленным условиям (например, ), обращается в нуль в силу условия поперечности не говоря уже о том, что оно не было бы существенно положительным (так как содержит нечетные степени компонент ).