§ 4. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ

Движение некоторых тел сопровождается непрерывным изменением их массы; например, масса движущейся капли может уменьшаться вследствие испарения или, наоборот, увеличиваться при конденсации паров на ее поверхности; масса ракеты изменяется при выбрасывании продуктов сгорания; по той же причине изменяется масса самолета, расходующего для своего движения запасы топлива, и т. д. Изменение массы тел приводит к некоторому усложнению формул, по которым рассчитывается их движение.

Если система выбрасывает часть своей массы в каком-нибудь определенном направлении, то она получает импульс (количество движения) в противоположном направлении. Это есть принцип реактивного движения, который имеет широкое применение; на нем основаны ракетная техника, расчеты реактивных двигателей самолетов и т. д.

Выведем уравнение движения тел с уменьшающейся массой при некоторых упрощающих предположениях. Допустим, что в начальный момент времени тело с массой покоилось относительно некоторой системы отсчета, связанной, например, с Землей. По истечении времени масса тела сделалась равной а скорость За каждый промежуток времени от тела отделяется масса причем будем предполагать, что по окончании процесса отделения каждая из этих элементарных масс имеет одну и ту же конечную скорость и. Далее предположим, что на тело не действуют внешние силы, поэтому выбрасывание массы производится силами взаимодействия между телом и отделяющимися частями его. Эти внутренние силы по третьему закону механики равны по величине и противоположны по направлению. За время масса тела уменьшается на а скорость увеличивается на Сила действующая на массу изменяет ее импульс на величину, равную

Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получим

Сила действующая на выбрасываемую массу изменяет скорость ее движения от начального значения до конечного и, т. е.

Так как а отделяющаяся масса равна уменьшению массы тела, т. е. то импульс (количество движения, приобретаемое телом за время будет равен

Разность скоростей есть скорость отделяющихся масс относительно самого тела (по абсолютному значению ; для ракеты это есть средняя скорость выбрасываемых продуктов сгорания относительно корпуса ракеты. Так как направлена противоположно скорости то при замене векторного уравнения (1.43) скалярным вместо следует написать — до; тогда

Знак минус означает, что увеличение скорости тела (положительное сопровождается уменьшением массы тела (отрицательное Если дополнительно предположить, что скорость отделяющихся масс относительно самого тела сохраняется в процессе движения постоянной, то уравнение (1.44) легко интегрируется:

Из этой формулы, полученной для ракет выдающимся теоретиком космонавтики Циолковским, следует, что приращение скорости ракеты за конечный промежуток времени определяется

скоростью истечения газов из выходного сопла ракеты и отношением массы сожженного топлива к оставшейся массе ракеты Например, если то для достижения конечной скорости необходимо отношение массы горючего к массе ракеты, равное 89.

Для ракет и реактивных двигателей сила приложенная к корпусу ракеты или двигателя со стороны продуктов сгорания, называется силой тяги. Для ракет с жидким и твердым топливом (не потребляющих атмосферного воздуха) отделяющиеся массы имеют начальную скорость сгорания), равную скорости корпуса ракеты, и конечную спорость (вне ракеты), равную и, поэтому

Например, если а ежесекундный расход топлива равен то сила тяги будет равна 500 000 Н. У воздушно-реактивных двигателей расход топлива мал по сравнению с количеством воздуха, проходящим через двигатель; расчет силы тяги производится по изменению импульса (количества движения) воздуха, прошедшего за секунду через двигатель.

В этих расчетах предполагалось, что внешние силы отсутствуют. Если же на тело с переменноймассой действуют внешние силы (например, притяжение к Земле, сопротивление атмосферы и т. п.), то полное изменение импульса

Произведение согласно уравнениям (1.41) и (1.42), разно (и поэтому

Это одно из уравнений И. В. Мещерского, позволяющее решать ряд важных задач движения тел с переменной массой. Оно сохраняется и в том случае, когда масса тела не уменьшается, как предполагалось выше, а увеличивается будет положительной величиной). В частности, если т. е. отделяющиеся или присоединяемые к телу массы имеют нулевую скорость (относительно указанной вначале системы отсчета), то уравнение (1.46) принимает вид

Выше рассматривалось движение тел, у которых изменение массы происходит вследствие выбрасывания его составных частей (или присоединения других тел, например частиц окружающей среды). Однако изменение массы как свойства тел может произойти также и вследствие изменения состояния этого тела, в частности изменения его скорости. Например, измерения показали, что масса электрона (а также других элементарных частиц) изменяется со скоростью

согласно формуле

где масса покоящегося электрона; с — скорость распространения света в вакууме. Для таких тел второй закон механики в виде непригоден и заменяется более общей формулой