ПРАВИЛА КИРХГОФА
Для расчета сил токов в различных участках сложных разветвленных цепей (например, мостика Уитстона, рис. 111.32) по заданным сопротивлениям этих участков и э. д. с. источников тока пользуются правилами Кирхгофа. Эти правила можно вывести на основе закона сохранения заряда и законов Ома (см. формулы (2.24) и (2.12)). Предполагается, что токи в цепи — установившиеся, т. е. силы токов, сопротивления и разности потенциалов в различных участках цепи с течением времени не изменяются. Окружим какую-нибудь точку разветвления, например А у замкнутой поверхностью (сферой); тогда для постоянства потенциала точки А необходимо, чтобы количество электричества, ежесекундно вносимое в эту сферу через одни проводники, было равно количеству электричества, выходящего из этой области по другим проводникам за то же время:
алгебраическая сумма сил токов должна равняться нулю, (первое правило Кирхгофа):
Рис. III.32
Это утверждение, очевидно, применимо для любой точки цепи с постоянными токами; если в цепи имеется 
точек разветвления, то, применяя условие (2.28), можно написать 
уравнений. В частности, в мостике (см. рис. 111.32) имеется четыре точки разветвления, однако число неизвестных величин — сил токов — шесть. Поэтому для нахождения этих величин необходимо составить еще два уравнения.
Для использования законов Ома выберем в цепи какую-нибудь замкнутую совокупность проводников, например 
в которой нет источника тока; напишем для нее очевидное тождество:
потенциалы начальных и конечных точек отдельных участков контура. На основании закона Ома, для каждого из участков цепи 
Однако следует учесть, что в этой записи предполагается движение положительных зарядов от первой точки ко второй, т. е. от большего потенциала 
к меньшему 
Если же мы будем вычитать из меньшего потенциала больший, то сила тока получится отрицательной, т. е. 
Учитывая это обстоятельство,
заменим разности потенциалов в выражении (2.29) через произведения сил токов на соответствующие сопротивления. Так как 
то
Тогда выражение (2.29) перепишется в виде
т. е. алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре, не содержащем источника тока, равна нулю:
Рассмотрим теперь замкнутый контур, содержащий источник тока, например 
Напишем опять очевидное тождество:
Согласно изложенному выше 
. Допустим, 
тогда 
Для определения разности потенциалов между полюсами источника тока 
воспользуемся определением электродвижущей силы [см. формулу (2.22)], откуда
Здесь предполагается, что внутри источника положительные заряды движутся от точки с меньшим потенциалом 
к точке с большим потенциалом 
Так как в нашем случае 
то
Подставим в выражение (2.30) найденные значения разностей потенциалов:
Полученный результат означает, что в замкнутом контуре, содержащем источник тока, алгебраическая сумма падений напряжений равна э. д. с. источника тока.
Применяя те же рассуждения для более общего случая, когда в контуре имеется несколько источников тока и они по-разному включены, можно получить следующий результат:
алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. источников тока, находящихся в этом контуре (второе правило Кирхгофа).
При применении этого правила обычно выбирается какое-нибудь направление обхода и соблюдается следующее условие знаков:
1) если токи 
текут по направлению обхода, то соответствующие произведения 
берут со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус;
2) если линия обхода направлена внутри источника тока от отрицательного полюса к положительному, то его э. д. с. берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.
При расчете сложных цепей чаще всего задаются только сопротивления отдельных участков и э. д. с. источников тока; направления и силы токов требуется определить. Для этого предварительно намечаются направления токов и решается система уравнений:
Если после расчета силы токов в каких-нибудь участках получаются отрицательными, то это означает, что направление токов в этих участках обратно намеченному до расчета.
