§ 9. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Допустим, что в объеме V при давлении и температуре находятся молекул газа. Количество газа можно измерять либо его массой масса одной молекулы), либо числом молей:

где молярная масса (масса одного моля вещества). Масса выражается в килограммах в килограммах на моль в молях. Число молекул в газе можно выразить через число молекул в одном моле вещества (постоянная Авогадро, равная

Объем газа измеряется в кубических метрах давление — в ньютонах на квадратный метр температура — по абсолютной шкале Кельвина (см. ч. II, § 18):

где температура по шкале Цельсия.

Измерения показали, что у газов при равновесных переходах из одного состояния в другое изменения параметров с некоторым приближением удовлетворяют так называемому объединенному закону Бойля — Мариотта и Гей-Люссака: для данной массы газа отношение произведения объема газа на его давление к абсолютной температуре сохраняется постоянным при переходе газа из одного равновесного состояния в другое:

Поэтому идеальный газ определяется как такой газ, который в точности подчиняется законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, а следовательно, объединенному закону (2.8). Так как при данном давлении и температуре объем газа V пропорционален его массе, то отношение должно быть также пропорционально массе газа, а следовательно числу частиц газа Обозначим коэффициент пропорциональности через тогда

Величину можно найти, если по массе газа найти число молекул и измерить объем, давление и температуру газа в каком-нибудь его равновесном состоянии. Расчет дает для разнородных газов при различных (равновесных) значениях параметров одно и то же значение этой величины, равное постоянной Больцмана.

Заменим в формуле (2.9) число молекул на а Произведение двух постоянных величин есть молярная (универсальная) газовая постоянная, равная -моль). Тогда формулу (2.9) можно переписать в виде

Эта формула, связывающая между собой параметры равновесного состояния идеального газа, называется уравнением состояния идеального газа (Клапейрона — Менделеева).

В формуле (2.9) можно разделить обе части ее на объем; получим:

Таким образом, давление газа прямо пропорционально числу молекул в единице объема и температуре газа.

Сравним уравнение (2.9) с основным уравнением кинетической теории газов (2.2), которое было выведено в предыдущем параграфе; из равенства правых частей этих формул следует:

В основном уравнении теории газов есть средняя квадратичная скорость поэтому энергия, рассчитанная по этой скорости,

есть средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа; согласно формуле (2.12), она оказывается прямо пропорциональной абсолютной температуре газа.

Вспомним, что поступательному движению молекул соответствуют три степени свободы. Тогда из формулы (2.12) следует, что на каждую степень свободы поступательного движения молекулы в среднем приходится энергия, равная

о чем было сказано в § 1.

Состояние идеального газа характеризуется не только занимаемым им объемом У, давлением и температурой но и распределением молекул по скоростям. В неравновесных состояниях газа это

распределение может быть любым, но в равновесном состоянии устанавливаются вполне определенные соотношения между числами молекул, имеющими различные скорости. При теоретическом выводе равновесного распределения молекул по скоростям используются следующие положения:

1) в газе не существует молекул, имеющих в точности одинаковые скорости;

2) число молекул скорости которых лежат в узких пределах между (например, от 100 до 101 м/с или от 500 до 501 м/с), прямо пропорционально общему числу молекул ширине интервала и зависит от величины скорости Зависимость от скорости представим в виде множителя

Функцию показывающую относительное число молекул, приходящихся на единицу интервала скоростей, называют функцией распределения молекул газа по скоростям. Таким образом, число частиц со скоростями, лежащими между не равно числу частиц, скорости которых лежат между или Функция для равновесных состояний газа вычислена теоретически и проверена путем измерений; по Максвеллу, она имеет вид

где некоторые постоянные величины, зависящие от массы молекул и от температуры газа Т:

(k - постоянная Больцмана).

Рис. 11.12

Графически функция распределения молекул по скоростям имеет вид, представленный на рис. 11.12. Заштрихованная площадка равна т. е. относительному числу частиц, скорости которых лежат в пределах Скорость, соответствующая максимуму функции распределения и обозначенная на рисунке называется средней наивероятной (или наиболее вероятной) скоростью молекул газа. Большинство молекул имеют скорости, лежащие вблизи

Пользуясь формулой Максвелла (2.14), сможно рассчитать средние скорости молекул:

Средняя наивероятная скорость определяется как то значение скорости, для которого функция распределения (2.14) имеет максимум.

Расчеты дают формулы:

Измерение скоростей молекул было произведено Штерном при помощи установки, схема которой изображена на рис. 11.13. Внутри цилиндра малого диаметра со щелью А помещается платиновая проволока покрытая слоем серебра. При нагревании электрическим током серебро испаряется, атомы серебра вылетают через щель и попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра II. Если оба цилиндра неподвижны, то все атомы независимо от их скоростей попадут в одно и то же место В большого цилиндра. При одновременном вращении обоих, цилиндров с угловой скоростью со атомы серебра в зависимости от своих скоростей попадут в точки По величине со, расстоянию и смещению можно вычислить скорость атомов, попавших в точку

где расстояние от оси вращения до поверхности цилиндра II. Эти измерения подтвердили теоретические расчеты скоростей.

Рис. 11.13

Однако следует заметить, что в подобных опытах определяется функция распределения молекул по скоростям не в самом сосуде, а в молекулярном пучке, вылетающем из сосуда. Очевидно, что наиболее вероятной скоростью молекул в пучке будет средняя скорость потока. Скорость истечения газа из отверстия в сосуде, в котором имеется давление в окружающую среду с давлением будет, согласно формуле (6.6), приведенной в § 30 ч. I, равна

В цилиндре I пары серебра можно считать идеальным газом и поэтому в цилиндре II поддерживается вакуум и можно полагать Тогда

т. е. средняя скорость молекул в потоке газа, выходящего из сосуда в вакуум, в точности равна средней наивероятной скорости молекул, вычисленной по формуле (2.14). Следовательно, измерения показывают, что распределение молекул по скоростям в потоке газа из сосуда

в вакуум соответствует формуле (2.14). Однако это вовсе не означает, что такое же распределение имеется в самом сосуде. Если, например, в цилиндре II давление было бы отлично от нуля, то средняя скорость потока отличалась бы от поэтому для проверки формулы (2.14) необходим более подробный анализ результатов измерений. В частности, производя измерения при различных значениях приближающихся к можно получить распределение молекул по скоростям в сосуде как предельное при