§ 4. РАБОТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ; РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯДОВ

Допустим, что в электрическом поле выделены две точки: 1 и 2. Соединим их некоторой линией (рис. III. 13) и разобьем эту линию на элементарные отрезки настолько малые, чтобы в пределах каждого из них напряженнбсть поля можно было бы принять постоянной по величине и направлению. Будем перемещать пробный заряд (точечный, малый, положительный) от первой точки ко второй и рассчитаем работу, совершаемую силой действующей на переносимый заряд; на участке работа перемещения равна

Рис. III.13

Полная работа переноса заряда из первой точки во вторую

Эта работа может быть положительной или отрицательной в зависимости от знаков т. е. величины углов между напряженностями поля и направлением переноса. (Элементы рассматриваются как векторы, ориентированные в направлении переноса.) Если работа перемещения положительная, то говорят, что она совершается силами поля-/отрицательный знак этой работы означает, что для перемещения заряда вдоль выбранной линии к нему должны быть приложены внешние силы (не связанные с полем) и, следовательно, формула (1.38) определяет величину внешней работы, совершаемой при этом переносе.

Выясним, может ли эта работа зависеть от формы и длины траектории (рис. III. 13). Возьмем вторую траекторию и допустим, что работа перемещения вдоль этой траектории равна Если перенести некоторый заряд от первой точки во вторую по траектории, вдоль которой совершается большая работа, а обратный переход осуществить по траектории, вдоль которой совершается меньшая работа, то после этой операции будет получен выигрыш в работе, равный (предполагается, что при переносе заряда напряженность поля со временем не изменяется, т. е. что поле является электростатическим). Так как при этом никаких изменений в электрическом поле, в расположении зарядов (создающих это поле) и т. п. не предполагается, то

указанную операцию можно многократно повторить и таким образом иметь неисчерпаемый источник работы. Такие источники в природе не обнаружены и теоретически не допускаются (согласно закону сохранения энергии). Ввиду этого следует полагать, что Тогда отношение к переносимому заряду, т. е. величина интеграла не зависит ни от величины переносимого заряда, ни от формы и размеров пути переноса, а определяется только расположением указанных точек в данном электрическом поле. Этот интеграл называется разностью потенциалов точек 1 и 2:

Понятие разности потенциалов вводится для характеристики различных точек электрического поля, поэтому в точках, где поля нет, потенциал принимается равным нулю. Допустим, что вторая точка 2 находится в пространстве, где электрического поля нет, например на бесконечно большом расстоянии от электрических зарядов. Тогда и

Следовательно, потенциал данной точки электрического поля равен отношению работы переноса пробного заряда из данной точки поля в другую точку, где электрическое поле отсутствует (например, в бесконечности), к величине переносимого заряда:

Потенциал есть скалярная величина, положительная или отрицательная в зависимости от знака работы переноса (заряд условились всегда брать положительным); потенциалы всех точек поля вокруг положительного заряда положительные, а вокруг отрицательного заряда — отрицательные.

Потенциал выражается в вольтах; разность потенциалов между двумя точками поля равна одному вольту, если работа переноса одного кулона электричества из одной точки в другую равна одному джоулю:

В атомной физике работа перемещения элементарных зарядов в электрическом поле (а также энергия частиц) измеряется в электронвольтах (эВ); 1 эВ равен работе перемещения электрона, если разность потенциалов начальной и конечной точек перемещения равна 1 В:

Из формулы (1.39) следует, что работа перемещения некоторого заряда из одной точки поля в другую равна произведению этого заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек перемещения:

Для двух очень близких точек поля, находящихся на расстоянии друг от друга, работа переноса Однако при применении аппарата высшей математики следует иметь в виду, что изменением (приращением) какой-нибудь величины х в математике называют не разность а разность Поэтому для двух бесконечно близких точек изменение (приращение) потенциала равно не следовательно,

В электрическом поле можно провести эквипотенциальную поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Работа перемещения заряда вдоль такой поверхности, согласно формуле (1.42), равна нулю. Это возможно, если в каждой точке такой поверхности сила, действующая на заряд перпендикулярна ей. Вместе с силой вектор также будет ориентирован по нормали к эквипотенциальной поверхности.

Допустим, что некоторый заряд перемещается по направленйю напряженности поля на расстояние Тогда работа перемещения будет положительной. Согласно формуле (1.42), положительная работа перемещения означает, что т. е. при таком перемещении конечная точка траектории имеет меньший потенциал, чем начальная. Таким образом, по направлению напряженности поля потенциал убывает.

Рис. 111.14

На рис. 111.14 показаны две эквипотенциальные поверхности, проходящие через точки 1 и 2, имеющие потенциалы Если точки 1 и 2 бесконечно близки друг к другу, то а есть расстояние между эквипотенциальными поверхностями, измеренное по нормали к ним, т. е. по направлению вектора напряженности Тогда из формулы (1.43) следует

т. е. напряженность в данной точке поля численно равна изменению потенциала на единицу расстояния, взятого вдоль нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Знак минус показывает, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала.

Работа перемещения заряда между двумя точками электрического поля не зависит от пути перехода и поэтому может быть представлена, например, в виде суммы работ, совершаемых последовательно на перемещениях вдоль координатных осей. Представим эту работу через изменения потенциалов вдоль координатных осей тогда для элементарной работы можно написать:

Разности потенциалов на элементарных участках пути можно представить в виде:

где дудг показывают изменение потенциала на единицу длины вдоль соответствующих координатных осей. Таким образом,

С другой стороны (см. ч. I, § 2), равна сумме работ, совершаемых компонентами силы следовательно,

Сравнивая эти выражения, получаем:

Обозначая единичные («направляющие») вектора координатных осей через можно представить вектор напряженности электрического поля в данной точке в зависимости от скоростей изменения потенциала вдоль координатных осей:

Величина, записанная в скобках и равная сумме скоростей изменения какой-нибудь скалярной величины (характеризующей поле) вдоль координатных осей, называется градиентом этой величины и обозначается

Таким образом, напряженность электрического поля в каждой точке равна градиенту потенциала поля в этой точке.

Связь между напряженностью поля и потенциалом имеет наиболее простой вид для однородного поля, когда постоянно (например, для Поля между обкладками плоского конденсатора). Воспользуемся формулой и будем интегрировать вдоль направления вектора

Рассчитаем потенциалы точек поля в вакууме вокруг точечного заряда допустим положительного. Применим формулу (1.40), и так как выбор пути перемещения безразличен, то проведем интегрирование вдоль радиуса от точки А до бесконечности.

Тогда

т. е. потенциал точечного заряда по абсолютной величине убывает обратно пропорционально расстоянию. Если заряд отрицательный, то Любое заряженное тело, а также любую систему зарядов различных знаков можно представить как совокупность множества точечных зарядов, каждый из которых создает в данной точке поля напряженность и потенциал Тогда при соблюдении принципа суперпозиции полей легко получить т. е. потенциал нескольких точечных зарядов в каждой точке поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности.

Таким образом, потенциалы электрического поля вокруг заряженных тел различной формы и размеров можно вычислить либо суммируя потенциалы, создаваемые точечными зарядами, расположенными на этих телах, либо пользуясь связью между потенциалом и напряженностью поля (1.44). В частности, потенциал электрического поля вокруг равномерно заряженного шара, имеющего общий заряд выражается той же формулой (1.46), которая была получена для точечного заряда; в безграничном диэлектрике

На самой поверхности шара радиус шара) потенциал равен

в том случае, когда заряд шара расположен только по его поверхности, эта формула может быть переписана в виде

где плотность заряда на поверхности шара.

На рис. III. 15 показаны графики зависимости потенциала электрического поля от расстояния до центра шара (а) и оси длинного цилиндра равномерно заряженных по поверхности, а также изменение потенциала между обкладками плоского конденсатора (в); здесь обозначены: радиусы шара и цилиндра, заряд на единице длины цилиндра, поверхностная плотность зарядов на обкладках конденсатора.

Рассчитаем потенциалы в точках А к В электрического диполя (см. рис. II 1.5, б). В точке А сумма потенциалов от положительного и отрицательного зарядов равна

Потенциал получился отрицательным, так как для точки А отрицательный заряд расположен ближе, чем положительный. В точке В потенциалы от обоих зарядов равны по величине и противоположны по знаку, поэтому

В разделе «Механика» (ч. I, § 12) было указано, что потенциальная энергия системы двух точечных взаимодействующих тел, в частности электрических зарядов равна

где знак плюс берется для отталкивающихся тел, а знак минус — для притягивающихся тел. Сравнивая формулы (1.46) и (1.47), получаем, что

т. е. потенциал данной точки поля точечного заряда численно равен потенциальной энергии системы, состоящей из заряда и единичного заряда, помещенного в эту точку поля. Однако следует подчеркнуть, что потенциал и потенциальная энергия есть различные физические величины и имеют различные размерности (вольт и джоуль),

Рис. III.15

Воспользуемся связью между и рассчитаем потенциальную энергию диполя, помещенного в электрическое поле; если положительный заряд диполя находится в точке с потенциалом а отрицательный в точке с потенциалом то

В поле с постоянным потенциалом на диполь не будут действовать силы и поэтому Если поле однородное то, согласно (1.43),

где I — плечо диполя, и тогда

Знак потенциальной энергии диполя зависит от того, какой из зарядов — положительный или отрицательный — находится в точке с бсшыиим потенциалом.

Если диполь находится в электрическом поле точечного (или сферически симметричного) заряда и если он ориентирован по радиусу, то

где расстояние от центра заряда до центра диполя.

Пользуясь этим результатом, можно легко рассчитать потенциальную энергию одного диполя в электрическом поле такого же диполя. Допустим, что диполи ориентированы одинаково и расположены на одной прямой. Обозначим через расстояния между центром одного диполя и зарядами другого; тогда, суммируя потенциальные энергии положительных и отрицательных зарядов диполя, получим:

Если значительно меньше то, полагая получим

(r - расстояние между центрами диполей).

Это есть потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых диполей, ориентированных указанным выше образом.