§ 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ; ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО—ГАУССА

Простейшей системой зарядов является электрический диполь — два равных по величине разноименных точечных заряда, расположенных на расстоянии I друг от друга. В каждой точке окружающего диполь пространства суммарный вектор индукции определится путем векторного сложения индукций создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Величину и направление вектора в точке А с координатами х и у найдем по значениям проекций векторов на координатные оси (рис. III.5, а):

Тогда угол у между вектором и положительным направлением оси определится из условия

Рис. III.5

Расчет упрощается, если точка, в которой определяется расположена либо на линии, соединяющей заряды (точка А на оси рис. III.5, б), либо на перпендикуляре, проведенном через центр О диполя (точка В на оси рис. III.5, б). В первом случае . Если расстояние х отточки А до центра

диполя, которое обозначим через значительно больше то

Во втором случае для точки В имеем: и тогда при

Таким образом, электрическое поле диполя на больших расстояниях убывает обратно пропорционально кубу этого расстояния.

Произведение называется электрическим моментом диполя и выражается в Расстояние (называемое плечом диполя) рассматривается как вектор, направление которого ориентировано от отрицательного заряда к положительному. Таким образом, электрический момент диполя есть вектор

Выше было показано, что величина и направление вектора индукции в какой-нибудь точке электрического поля вокруг диполя зависят от расположения этой точки относительно электрического момента диполя. Допустим, что в некотором малом объеме имеется множество электрических диполей, различным образом ориентированных. В некоторой точке, расположенной достаточно далеко от этих диполей, суммарный вектор индукции будет определяться векторной суммой электрических моментов всех диполей в объеме

которая при хаотическом расположении диполей может оказаться очень малой величиной. Можно показать, что у систем из равного числа симметрично расположенных положительных и отрицательных зарядов индукция поля убывает на больших расстояниях от этой системы обратно пропорционально более высоким степеням расстояния. Отсутствие заметного электрического поля вокруг нейтральных тел, содержащих большое число близко расположенных друг к другу положительных и отрицательных зарядов, также объясняется суперпозицией (векторным сложением) индукций этих зарядов.

Для расчета электрического поля зарядов, распределенных вдоль линии, поверхности или по объему, мысленно разбивают их на элементарные почти точечные заряды и затем производят векторное суммирование индукций от этих зарядов. Рассчитаем цндукцию поля в точке А, расположенной на расстоянии а от равномерно заряженной нити (стержня, проволоки). Обозначим через заряд, приходящийся на единицу длины нити. От элементарного участка проводника длиной на котором имеется «почти точечный» заряд индукция в точке А (рис. II 1.6) будет равна

Векторное сложение индукций заменим скалярным сложением составляющих по координатным осям: Сначала рассчитаем для участка нити

Для участка нити получаются те же формулы с заменой угла на

Рис. III.6

Для расчета индукции, создаваемой в точке А всей нитью необходимо складывать составляющие по оси и вычитать составляющие по оси создаваемые участками и получим:

Если нить очень длинная: то

А следовательно,

При этих условиях в каждой точке электрического поля индукция перпендикулярна нити и по величине обратно пропорциональна расстоянию до нее.

Этими результатами можно воспользоваться для расчета индукции поля, создаваемого равномерно заряженной плоек о с для этой цели разобьем плоскость на множество прямолинейных полос бесконечно малой толщины (рис. II 1.7). Обозначим через а заряд, находящийся на единице площади; тогда на единицу длины каждой полосы будет приходиться заряд Индукцию поля в точке создаваемую одной полосой, можно рассчитать по формулам (1.23) и затем произвести суммирование индукций от всех полос.

Рассмотрим частный пример, когда расстояние от точки А до плоскости очень мало по сравнению с расстояниями от этой точки до границ плоскости (т. е. когда плоскость «безгранично велика»). Тогда для каждой полосы может быть использована формула (1.24); индукция, создаваемая одной полосой в точке будет равна Ориентируем ось вдоль перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость;

Рис. III.7

разложим на составляющие и проинтегрируем для всех значений угла от до Так как то

Для составляющих по оси (т. е. параллельных плоскости) расчет дает нуль. Тогда следовательно,

т. е. в каждой точке электрического поля вблизи равномерно заряженной плоскости индукция перпендикулярна плоскости, не зависит от расстояния до нее и равна

Рис. III.8

Две параллельные разноименно заряженные плоскости (плоский конденсатор) создают общее поле, индукция которого в каждой точке пространства между ними будет равна сумме создаваемых каждой плоскостью, а за пределами — их разности (рис. II 1.8). Если поверхностная плотность зарядов а на плоскостях одинаковая, то в значительной части пространства между плоскостями (т. е. далеко от их краев) можно, согласно формуле (1.25), положить следовательно, индукция поля

и направлена от положительно заряженной плоскости к отрицательной (по нормали к ним). Вблизи границ пластинок поле будет слабее; в остальном пространстве вокруг плоскостей поле практически отсутствует.

Расчет электрических полей распределенных зарядов в некоторых случаях заметно облегчается применением теоремы Остроградского — Гаусса. Допустим, что имеется система точечных зарядов создающих электрическое поле; в каждой точке поля индукция может быть рассчитана по формулам (1.3) и (1.4). Охватим эти заряды какой-нибудь замкнутой поверхностью которую разделим на маленькие, почти плоские, участки единичные нормали к этим участкам условимся ориентировать наружу (рис. III.9).

Рис. III.9

Допустим, что один из зарядов создает в пределах площадки поле с вектором индукции Произведение а — поток электрической индукции через площадку Произведение проекция площадки на сферическую поверхность радиуса поэтому отнощение равно телесному углу

Воспользуемся формулой (1.3) для индукции; тогда

Найдем для заряда полный поток вектора индукции создаваемого им электрического поля через всю замкнутую поверхность так как телесный угол вокруг точки равен то

Этот результат не зависит от формы и размеров выбранной нами замкнутой поверхности и от местонахождения заряда внутри охватываемого объема. Если заряд положительный, то вектор индукции во всех точках поверхности направлен наружу, поэтому углы а будут острые и является положительной величиной; у отрицательных зарядов направлены внутрь поверхности, углы будут тупые и получится отрицательным. Таким образом, знаки совпадают.

При наличии внутри замкнутой поверхности нескольких зарядов вектор индукции поля в пределах равен сумме векторов

индукций от каждого заряда: Следовательно, поток индукции через и через всю поверхность будет состоять из суммы потоков индукции, создаваемых отдельными зарядами: Обозначая точную сумму потоков индукции через замкнутую поверхность интегралом, получим

Это соотношение выражает теорему Остроградского — Гаусса:

полный поток электрической индукции поля системы зарядов через охватывающую их замкнутую поверхность любой формы и размеров равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

Заряды, расположенные за пределами выбранной нами замкнутой поверхности, в эту сумму не входят, так как для обеих частей поверхности и рис. III.10) потоки индукции будут иметь равные и противоположные по знаку значения и их сумма будет равна нулю.

Рис. III.10

В самом общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» по объему с некоторой плотностью причем эта плотность может быть различной в различных местах, т. е. . Тогда, выбрав некоторый объем V произвольной формы и размеров, можно записать теорему Остроградского — Гаусса в виде

где замкнутая поверхность, охватывающая объем проекция вектора индукции в данной точке этой поверхности на направление нормали к площадке