ДВИЖЕНИЕ ПО КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАЕКТОРИИ

Рассмотрим движение точечного тела по некоторой криволинейной траектории (рис. 1.3). Положение тела в моменты обозначенные можно фиксировать радиус-векторами и проведенными из предварительно выбранной нами точки О. Вектор соединяющий точки не определяет форму траектории на участке Например, для сплошной и пунктирной траекторий, показанных на рис. 1.3, форма и размеры участка различны, тогда как вектор одинаков по величине и направлению, поэтому отношение не равно средней скорости движения тела на участке Однако если точка В очень близка к точке то будет мало отличаться от дуги и в пределе (когда угол ) будет совпадать с ней. Ввиду этого предел отношения

будет вектором скорости тела на бесконечно малом участке траектории между точками

Рис. 1.3

Известно, что очень малые участки любой кривой можно заменить дугой окружности; для этого необходимо подобрать подходящий

радиус этой окружности и расположение ее центра называется радиусом кривизны кривой в данном месте центром кривизны). На рис. 1.4, а показаны радиус и центр окружности, дуга которой совпадает с участком траектории На рис. 1.4, б показаны скорости в точках и изменения скорости на этом участке. Вектор можно разложить на две составляющие: по направлению скорости и перпендикулярно ей:

Рис. 1.4

Разделим это равенство на и перейдем к пределу при (при этом , т. е. направления векторов будут почти совпадать):

или

Вектор а (тангенциальное ускорение) есть проекция вектора полного ускорения а на направление движения. Это ускорение изменяет скорость движения только по величине. Оно направлено по скорости или против нее в зависимости от того, является ли движение ускоренным или замедленным. Численное значение тангенциального ускорения определяется по изменению величины скорости:

Если движение (по любой криволинейной траектории) является равномерным, то

Вектор есть проекция вектора полного ускорения а на направление, перпендикулярное скорости, т. е. на направление радиуса вектора или нормали к траектории. Это ускорение называется нормальным или центростремительным. Оно вызывает изменение скорости только по направлению и поэтому отсутствует при прямолинейном движении. Так как (а в радианах),

(индекс у скорости можно отбросить, так как то

следовательно, величина нормального ускорения в каждой точке криволинейной траектории определяется скоростью движения и радиусом кривизны траектории в этой точке.

Величина полного ускорения в данной точке траектории может быть вычислена по значение тангенциального и нормального ускорений:

Можно также определить угол а между направлениями векторов скорости и ускорения а:

Рассмотрим частный случай, когда точечное тело движется по окружности. Выберем настолько малый промежуток времени чтобы движение тела на участке окружности можно было полагать почти равномерным. Отношение угла поворота радиус-вектора (рис. 1.5, а) к прошедшему времени есть средняя угловая скорость вращения

Рис. 1.5

Единица угловой скорости:

В пределе при и мы получаем угловую скорость в данный момент времени:

Аналогично, если угловые скорости вращения в моменты времени и то отношение

будет средним угловым ускорением за время а предел отношения

будет угловым ускорением в данный момент времени. Так как то между линейными и угловыми величинами, характеризующими движения точечного тела по окружности, существуют соотношения:

При постоянном угловом ускорении расчетные формулы для угловой скорости вращения и угла поворота имеют простой вид:

где угловая скорость в начальный момент времени Если за время тело совершает несколько оборотов вокруг оси вращения, то их число можно рассчитать, разделив а на

Угловая скорость вращения изображается вектором со, направленным по оси вращения; направление вектора угловой скорости условились определять по правилу «правого винта», т. е. в направлении поступательного движения винта, имеющего данное вращение (рис. 1.5, б). Угловое ускорение есть также векторная величина:

Если угловая скорость по величине возрастает, то разность векторов следовательно, и угловое ускорение будут иметь направление, совпадающее с направлением Если же угловая скорость вращения убывает, то разность а следовательно, и вектор углового ускорения ориентируются в направлении, противоположном направлению угловой скорости (рис. 1.5, в).