§ 13. СТОЛКНОВЕНИЕ ШАРОВ

Применим законы сохранения импульса и энергии для изучения столкновения шаров. Рассмотрим сначала простейший случай, когда шары движутся вдоль прямой, соединяющей их центры (рис. 1.32), причем скорости их могут быть направлены навстречу или в одну сторону Полагая, во-первых, что на шары внешние силы не действуют, и, во-вторых, что в процессе столкновения не происходит превращения механической энергии в тепловую, можно применить оба закона сохранения — импульса и механической энергии. Обозначим скорости шаров после удара через их и тогда

Рис. 1.32

Для совместного решения этих уравнений необходимо первое векторное уравнение заменить скалярным; при этом должно быть учтено направление скоростей; например, скорости шаров, направленные вправо, можно полагать положительными, а влево — отрицательными. Ввиду этого для шаров, двигающихся навстречу, в левой части уравнения (3.17) должно быть написано Однако нам неизвестны направления скоростей после удара; это затруднение можно обойти следующим образом: сделаем какое-либо предположение о направлении скоростей шаров после удара и решим совместно уравнения (3.17) и (3.18). Если наши предположения были правильными, то расчет даст для скоростей шаров положительные знаки; если же у какой-нибудь из этих скоростей получится отрицательный знак, то предварительно выбранное направление этой скорости следует изменить на обратное.

Для определения скоростей шаров, которые до удара двигались в одном направлении (рис. 1.32), один догоняя другого, заменим векторное уравнение (3.17) скалярным:

Здесь предположено, что после удара оба шара по-прежнему движутся слева направо. Совместное решение уравнений и (3.18) приводит к следующему результату:

Исследуем эти формулы:

1) если массы шаров равны то

Это означает, что после удара оба шара движутся вправо, но обменявшись скоростями. Первоначально выбранное в уравнении (3.19) направление скоростей после удара оказалось правильным;

2) допустим, что второй шар покоится причем тогда

В этом случае обе скорости после удара имеют опять-таки положительные знаки, т. е. направлены, как было предположено в уравнении (3.19), вправо. Численные значения этих скоростей зависят от соотношения масс шаров и скорости первого шара. Заметим, что отношение кинетической энергии первого тела после столкновения к первоначальной равно

3) допустим, что второй шар покбится, но он имеет большую массу, чем первый. В этом случае очевидно, что формулы для расчета скоростей после удара будут совпадать с выражением (3.21), но ввиду того что скорость первого шара их получается отрицательной. Это означает, что после удара первый шар будет двигаться не вправо, как было предположено в выражении (3.19), а влево.

Если масса второго шара настолько велика, что по сравнению с ней массой первого шара можно пренебречь, то их т. е. первый шар будет отскакивать от второго с той же скоростью, с какой ударяется. Такой же результат, очевидно, мы получим при столкновении шара с неподвижной плоскостью.

Столкновение шаров, движущихся навстречу, может быть рассмотрено аналогичным образом. При этом получаются те же формулы (3.20), но с заменой скорости на

Мы предполагали, что шары движутся вдоль прямой, проведенной через их центры. Однако если это условие не соблюдается, то задача по-прежнему может быть решена при помощи уравнений (3.17)

и (3.18). Для этого необходимо произвести разложение векторов скоростей (рис. 1.33) соударяющихся шаров на составляющие, направленные вдоль линии центров и перпендикулярно ей и Затем следует решать задачу столкновения шаров, оперируя только скоростями, направленными по линии центров; скорости, перпендикулярные этой линии, остаются при ударе без изменений. Таким приемом можно доказать, что при ударе шара о плоскость под некоторым углом соблюдается равенство углов падения и отражения.

В процессе удара оба шара действуют друг на друга с упругими силами, которые, меняясь со временем по величине, остаются равными между собой и противоположно направленными в любой момент времени, пока шары находятся в соприкосновении. Эти внутренние силы взаимодействия сообщают соударяющимся шарам равные по величине и противоположные по направлению импульсы.

Рис. 1.33

Однако это условие обеспечивает только выполнение закона сохранения импульса, но не гарантирует соблюдение закона сохранения механической энергии. При столкновении тел их деформация может происходить с внутренним трением, вследствие чего часть кинетической энергии тел перейдет в теплоту. Тогда вместо выражения (3.18) следует написать более общий вид закона сохранения энергии:

Если количество выделившейся теплоты неизвестно, то определить скорости тел после удара невозможно, так как два используемых уравнения, (3.17) и (3.22) будут содержать три неизвестных. Задача решается, если: 1) (абсолютно упругий удар), 2) ношиг т. е. тела после удара движутся вместе с одинаковыми скоростями (абсолютно неупругий, удар). Однако во втором случае скорости тел после удара можно найти только из одного уравнения выражающего закон сохранения импульса; тогда закон сохранения энергии (см. формулу (3.22)) можно использовать для вычисления количества выделяющегося тепла.

Если неупругий удар используется для каких-нибудь технологических целей (ковка изделий, забивание свай и т. п.), то можно оценить коэффициент полезного действия процесса удара как отношение полезно использованной энергии к полной энергии

соударяющихся тел до удара:

Рассмотрим простейший случай, когда Тогда из (3.19) следует, что а из соотношения (3.22)

Допустим, что полезной является работа, затрачиваемая на деформацию тел; эта работа при ударе превращается в теплоту. В этом случае коэффициент полезного действия

будет большим при (масса ударяющего тела значительно меньше массы деформируемого тела). Если же удар используется для передачи кинетической энергии, то должно быть минимальным, т. е.

будет большим при

При столкновении реальных шаров результат удара определяется физическими свойствами вещества соударяющихся шаров. Измерения показали, что для шаров одинакового диаметра отношение

имеет разные значения для различных веществ, из которых сделаны шары. Например, для стальных шаров бронзовых — 0,4, свинцовых — 0,20, деревянных — 0,6, стеклянных — 0,95 и т. д. Для абсолютно упругого удара из выражения (3.20) можно получить, что следовательно, Для абсолютно неупругого удара их и поэтому Величина характеризующая столкновение, называется коэффициентом восстановления. Его легко определить, наблюдая уменьшение высоты подскоков шара, падающего на горизонтальную плоскость (из того же вещества). Чем ближе значение для данного вещества к единице, тем ближе столкновение к абсолютно упругому.