§ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ; ИНДУКЦИЯ И НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ. ЗАКОН КУЛОНА

Каждое заряженное тело окружено электрическим полем, которое теоретически простирается до бесконечности. Электрические поля нескольких заряженных тел образуют общее электрическое поле, в котором нельзя отличить поле одного заряда от поля других зарядов. В современной физике электрическое поле рассматривается как особая форма объективной реальности — материи, обладающей специфическими физическими свойствами. Одним из этих свойств, легко наблюдаемым и измеряемым, является следующее: на электрические заряды, помещенные в электрическом поле, действуют силы, пропорциональные величине этих зарядов.

Допустим, что электрическое поле в вакууме образовано зарядом сосредоточенным в некоторой точке О. Проведем из точки О сферу радиуса и выберем на этой сфере элементарную площадку (рис. III. 1), выделяющую телесный угол Так как поле покоящегося точечного заряда предполагается сферически симметричным, а телесный угол вокруг точки равен 4 я, то будет

показывать, какая часть электрического поля приходится на долю телесного угла Допустим, что некоторая величина, при помощи которой можно охарактеризовать все поле данного электрического заряда. Очевидно, должно быть пропорционально величине заряда создающего данное поле; для простоты можно полагать, что численно равно Тогда та часть поля, которая охватывается телесным углом будет характеризоваться величиной

В этой формуле выделим величину

Рис. III.1

Она является характеристикой электрического поля в пределах площадки т. е. на расстоянии от точечного заряда Условимся полагать вектором, направленным по радиусу от точки О, если заряд положительный, и к точке О, если заряд отрицательный. Это, условие можно записать в следующем виде:

Вектор для точечного заряда определяется исходя из сферической симметрии поля. Для нахождения вектора суммарного электрического поля системы зарядов пользуются принципом суперпозиции электрических полей: в каждой точке поля любой системы зарядов вектор равен сумме векторов точечных зарядов, из которых состоит данная система (рис. III.2):

Рис. III.2

Важно отметить, что если известны заряды, создающие данное поле, то для определения вектора в каждой точке поля нет необходимости производить измерения; этот вектор может быть рассчитан по заданному расположению электрических зарядов. Кроме того, значение вектора для каждого отдельного заряда а также для выделенной нами системы зарядов не зависит от наличия или отсутствия среды, заполняющей поле, или других тел, содержащих заряды. В любом случае можно выделить ту или иную систему зарядов и для их электрического поля рассчитать вектор Во многих таких расчетах учитывают все заряды, включая те, которые появляются на поверхности или в объеме проводников и диэлектриков, помещенных в данное

электрическое поле. Однако очень часто выделяют поле «избыточных зарядов» от поля, создаваемого «связанными зарядами» в различных средах (диэлектриках).

Вектор , определяемый формулами (1.3) и (1.4) и дающий геометрическую характеристику электрического поля данного заряда или данной системы зарядов, называется вектором электрической индукции или электрического смещения. Соотношение (1.4), выражающее лринцип суперпозиции для вектора индукции, утверждает, что индукция общего поля системы зарядов в данной точке равна векторной сумме индукций, которые создаются каждым зарядом в отдельности при отсутствии остальных. Скалярная величина называется потоком электрической индукции (смещения) через площадку и будет использована в § 3 при расчете электрических полей.

Для опытного изучения электрического поля можно воспользоваться «пробным» (точечным и для определенности положительным) зарядом который должен быть настолько мал, чтобы его собственное электрическое поле не искажало изучаемого поля (не вызывало бы перемещения зарядов на телах, с которыми связано это поле). Помещая заряд в ту или иную точку поля, измеряют действующую на него силу Отношение обозначаемое не зависит от величины и называется напряженностью электрического поля в данной точке:

Для вычисления необходимо предварительно измерять величину пробного заряда Измерение электрических зарядов производится на основе закона Кулона: два точечных заряда находящиеся в однородной и изотропной среде (границы которой находятся очень далеко от этих зарядов) на расстоянии друг от друга, взаимодействуют с силой

где коэффициент, зависящий от выбора единиц измерений для силы, заряда и расстояния, безразмерная величина, характеризующая электрические свойства диэлектрика и показывающая, во сколько раз сила взаимодействия этих зарядов в данном диэлектрике меньше, чем в вакууме (для вакуума полагают В векторной записи закон Кулона имеет вид

В абсолютной электростатической системе единиц в которой сила выражается в динах, расстояние — в сантиметрах, а коэффициент полагается безразмерной величиной, равной единице, получим

В Международной системе сила выражается в ньютонах, расстояние — в метрах, а заряд — в кулонах; тогда коэффициент в формуле (1.6) оказывается равным

Постоянную величину принято заменять на

Тогда закон Кулона (1.7) записывается в виде

где

Найдем формулу для расчета напряженности электрического поля в различных точках вокруг точечного заряда Для этого предположим, что в формуле (1.6) один из взаимодействующих зарядов пробный, т. е. Тогда, согласно определению напряженности поля (1.5), получаем

или в векторном виде

При определении напряженности поля в вакууме следует положить

Таким образом, каждая точка электрического поля характеризуется двумя векторными величинами: Найдем связь между ними; согласно формулам (1.2) и (1.10), имеем

Тогда (в векторной записи)

Величина называется электрической постоянной (иногда диэлектрической проницаемостью вакуума). Произведение называется абсолютной диэлектрической проницаемостью данной среды, а безразмерная величина приводимая в справочных таблицах, называется относительной диэлектрической проницаемостью данной среды (диэлектрика) по отношению к вакууму.

Формулы (1.13) соответствуют Международной системе единиц Величины имеют различные размерности: индукция (смещение) поля выражается в кулонах на квадратный метр

а напряженность поля в ньютонах на кулон или (так как в вольтах на метр

В абсолютной электростатической системе электрическая индукция (или смещение) в поле точечного заряда определяется не по формулам (1.2) или (1.3), а без коэффициента

Напряженность поля, согласно формулам (1.10) и (1.11), определяется по формуле, не содержащей коэффициента

Поэтому связь между векторами не содержит постоянной

Так как есть безразмерная величина, то в системе размерности совпадают

Выясним, чем обусловлена необходимость введения двух векторов характеризующих каждую точку электрического поля. Различие между ними заключается в том, что индукцию в каждой точке поля можно вычислить по известному расположению электрических зарядов на основании определения (1.2) и принципа суперпозиции (1.4). Напряженность же по определению (1.5), может быть найдена только путем измерения с применением «пробного» заряда; найти этот ректор на основании формулы невозможно, если диэлектрическая проницаемость среды неизвестна. Заметим, что для многих веществ не есть постоянная величина и зависит от интенсивности внешнего электрического поля, действующего на среду, а также от быстроты его изменения (например, от частоты колебаний); кроме того, у неоднородных и анизотропных сред диэлектрическая проницаемость различна в различных местах и по различным направлениям, взятым в этой среде. Таким образом, в соотношении из трех величин однаф) может быть вычислена по расположению электрических зарядов, создающих данное поле, вторая измерена, а третья найдена как результат экспериментального изучения данной среды. Лишь в весьма частных случаях, когда электрическое поле существует в вакууме или в безграничной однородной и изотропной среде, возможен расчет по значениям

В некоторых случаях диэлектрик заполняет только часть электрического поля взаимодействующих зарядов. На рис. III.3 показаны три таких примера. В § 6 будет показано, что на поверхности диэлектрика в таких случаях появляются некомпенсированные заряды, которые создают добавочное электрическое поле; это поле накладывается На пбле рассматриваемых зарядов и должно быть учтено при расчете в каждой интересующей нас точке.

Допустим, что в вакууме заряды действуют на пробный заряд сначала каждый в отдельности (при отсутствии других)

с силами а затем одновременно (при том же их взаимном расположении) с силой Измерения показывают, что в вакууме соблюдается равенство

Подставим в эту формулу выражение для каждой из сил; согласно равенствам (1.5) и (1.13), и поэтому

после подстановки и сокращения получим формулу Таким образом, из опытного результата (1.17) получается принцип суперпозиции для вектора наоборот, из принципа суперпозиции (1.4) можно вывести соотношение (1.17).

Рис. III.3

Однако если такой расчет произвести не для вакуума, а для различных диэлектрических сред, то силы будут выражены в зависимости от относительной диэлектрической проницаемости Величина характеризующая электрическое состояние среды, может изменяться в зависимости от интенсивности поля, действующего внутри среды. Поэтому если в среде находится только один заряд то для расчета силы следует полагать для заряда и силы может оказаться, что для расчета силы при одновременном существовании всех зарядов диэлектрическую проницаемость примем равной Тогда

Воспользуемся теперь принципом суперпозиции (1.4) и выразим векторы через векторы сил:

Очевидно, что соотношение может выполняться только в том случае, если относительная диэлектрическая проницаемость среды — величина постоянная, т. е. При этих условиях будет соблюдаться и равенство

где напряженности полей, которые создаются в данной точке среды каждым зарядом в отдельности при отсутствии других. Среда, в которой не зависит от называется линейной.

Заметим, что направления векторов совпадают только в изотропной среде. Допустим, что среда неизотропная, причем относительная диэлектрическая проницаемость в направлении равна а в направлении равна Разложим вектор в точке О (рис. II 1.4) на составляющие по координатным осям Тогда составляющие вектора напряженности будут равны:

следовательно, В общем случае следует учесть значение диэлектрической проницаемости и в направлении третьей оси

Рис. III.4

Ввиду этого при расчете силы действующей на заряд в электрическом поле, удобнее пользоваться не вектором индукции

а вектором напряженности

так как во всех случаях, согласно определению (1.5), сила по направлению либо совпадает с направлением если заряд положительный, либо противоположна ему, если заряд отрицательный. В анизотропной среде компоненты силы пропорциональны компонентам вектора напряженности:

Электрическое поле называется однородным, если во всех его точках напряженность одинакова и по величине и по направлению, т. е. В большинстве случаев электрические поля различных заряженных тел неоднородные, т. е. .

Очевидно, что достаточно малые участки неоднородного поля можно с некоторым приближением считать однородными. Поэтому для изучения электрических полей должны быть взяты «пробные заряды» малых размеров, чтобы в пределах их объема поля можно было считать однородными.

Силы электрического взаимодействия заряженных элементарных частиц (электронов, протонов и т. д.) значительно превосходят силы гравитационного взаимодействия между ними. Так, для двух протонов, массы и электрические заряды которых равны соответственно получим

Однако в том случае, когда между зарядами и массами тел нет той определенной связи, которая имеется у протонов, электронов и других заряженных элементарных частиц, это отношение может быть любым. Например, электрическое взаимодействие между такими космическими телами, как Солнце и планеты, значительно слабее их гравитационного взаимодействия.