§ 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ФЛУКТУАЦИИ

Статистическая физика предназначена для изучения процессов в системах из большого числа частиц, совершающих беспорядочное тепловое движение. Ее задачами являются: 1) нахождение связи между свойствами системы и течением процессов в ней (которые фиксируются при помощи физической аппаратуры) и свойствами частиц и характером их движения внутри системы; 2) нахождение и сопоставление средних значений случайных величин за большое время наблюдения; 3) расчет величины и частоты появления случайных (флуктуационных) отклонений данной измеряемой физической величины от ее среднего (равновесного) значения. Значительная часть статистической физики посвящена термодинамическим системам и является теоретической основой «феноменологической» термодинамики.

В статистической физике используется аппарат математической теории вероятностей к многократно повторяющимся физическим состояниям или явлениям. Типичным примером является рассмотренный ранее закон распада радиоактивных ядер. Полагая, что вероятности распада для каждого ядра в отдельности равны, можно принять число распадающихся ядер за время пропорциональным и числу имеющихся ядер Заметим, что полученные и для других явлений экспоненциальные законы также имеют вероятностный смысл. Ввиду этого определение понятия «вероятность события» имеет в статистической физике важное значение.

Допустим, что произведено однородных (по какому-нибудь признаку) испытании, например: бросание игральной кости, многократное измерение какой-нибудь величины х (температуры, давления и т. п.) в данном месте в течение очень малых (но равных) промежутков времени Если значение наблюдалось раз, то отношение есть частота появления этого значения, а предел

(если он существует) называется вероятностью появления значения Для величин, непрерывно изменяющихся со временем, есть время существования значения и поэтому вероятность реализации этого значения равна

где полное время наблюдения. В некоторых случаях о вероятности событий можно судить до производства испытаний. Например, если игральная кость — идеальный кубик, то вероятности появления любой цифры будут равны

Для случайных величин, имеющих непрерывный спектр возможных значений (скорости молекул газа, частота колебаний излучения и др.), вводят функции распределения; вероятность того, что величина х может иметь значения, лежащие в пределах представляется в виде

Если имеет один максимум при то называют наивероятным значением х. Знание позволяет вычислять средние значения переменных величин:

(по совокупности частиц, если х характеризует одну частицу, и по времени, если

Функции распределения имеют в статистической физике фундаментальные значения. В частности, у системы из одинаковых частиц, имеющих дискретный спектр состояний с энергиями равновесная функция распределения частиц по энергиям представляется в виде

где постоянная величина (зависящая от температуры системы).

Переход системы из неравновесного состояния в равновесное можно обосновать различным образом. В частности допустим, что среднее время пребывания частицы в состоянии с энергией убывает с увеличением энергии и выражается формулой

где величины, зависящие от общего состояния системы, т. е. от вида функции распределения Если на уровне находится

частиц, то будет означать число частиц, ежесекундно покидающих этот уровень. Обозначим через число частиц, ежесекудно поступающих на этот уровень. Очевидно, что разность

в равновесном состоянии должна равняться нулю. Величина зависит от общего состояния системы (от того, что в данный момент времени происходит на всех уровнях энергии) и поэтому будет изменяться сравнительно медленно, тогда как прямо пропорциональна и будет изменяться гораздо быстрее, чем Этого достаточно, чтобы разность (39) имела тенденцию к уменьшению до нуля, что означает переход системы к равновесному состоянию.

Заметим, что общее число энергетических переходов в системе (в единицу времени)

является важной характеристикой состояния системы (имеющей смысл и для неравновесных состояний). В частности, равновесную функцию распределения частиц по уровням энергии (37) можно вывести из условия минимуму. Для идеального газа есть число столкновений между молекулами в единицу времени и поэтому условие минимуму (см. формулу (2.76), ч. II), означает возрастание энтропии. Возможно, что это утверждение имеет Смысл и для других систем, для которых число энергетических переходов может быть рассчитано.

Важной особенностью физических систем является наличие в них «борьбы» между хаосом теплового движения и односторонним действием релаксационных процессов, направленных к достижению равновесного состояния. В точном состоянии равновесия релаксационные процессы исчезают и система освобождается от их действия, поэтому случайные ситуации, возникающие в системе вследствие беспорядочного теплового движения частиц, могут легко вывести систему из равновесия. Тогда приходят в действие релаксационные процессы, вновь направляющие систему в равновесное состояние.

Флуктуациями называются беспорядочные отклонения физических систем от их равновесного состояния (или физических процессов — от их установившегося течения). Флуктуации существуют и в неравновесных состояниях и в неустановившихся процессах; при их отсутствии релаксация была бы «гладким» процессом и их можно было бы описывать однозначными функциями от времени. Наличие тепловых флуктуаций вызывает беспорядочные отклонения реальных процессов от такого «гладкого» течения.

Рассмотрим флуктуации в состоянии равновесия. Обозначим через значение флуктуирующей величины в некоторый момент времени, а через его среднее значение за большое время наблюдения. Разность будет весьма быстро и беспорядочно изменяться и по величине и по знаку; ее среднее значение, найденное для достаточно большого времени, равно, очевидно, нулю. Для практических целей удобно оценивать флуктуации по среднему значению квадрата

этой разности: Квадратный корень от этой величины обозначим через А. Отношение называют относительной флуктуацией.

Формулы для расчета флуктуаций различных физических величин выводятся в статистической физике; приведем некоторые из них:

1) флуктуация числа части в объеме V (выделенном в газе, жидкости или твердом теле) при температуре

или относительная флуктуация

(k - постоянная Больцмана).

Если среда — идеальный газ, то и поэтому

В кубическом сантиметре воздуха при нормальных условиях содержится около молекул и относительная флуктуация оказывается равной т. е. около двух миллионных долей процента. При малых плотностях относительная флуктуация может быть больше;

2) флуктуация температуры в данном объеме среды

У идеального газа теплоемкость при постоянном объеме (для всего газа, содержащего частиц) выражается простой формулой и поэтому относительная флуктуация температуры обратно пропорциональна

3) флуктуация энергии в данном объеме среды, содержащем частиц,

4) флуктуация числа электронов, вылетающих из катода к аноду в электронных лампах за определенное время

Так как заряд электрона) есть сила тока то относительная флуктуация анодного тока вычисляется по формуле

В радиотехнических цепях флуктуации токов обнаруживаются в виде так называемых «тепловых шумов»;

5) флуктуация напряжения на концах проводника с сопротивлением при температуре (эти напряжения появляются вследствие случайных перераспределенийэлектронного газа в объеме проводника). Расчет показывает, что пропорциональна

6) беспорядочные Колебания стрелок измерительных приборов (гальванометров и др.) вокруг нулевого положения, случайные

отклонения тела, подвешенного на пружине, от равновесного состояния и т. д. определяются из равенства между энергией этого тела и энергией теплового движения молекул, приходящейся на одну степень свободы. Например, в колебательной системе из груза с массой и пружины с упругостью находящейся в идеальном однодтомном газе с температурой флуктуации кинетической и потенциальной энергии вследствие ударов молекул будут равны:

откуда следует, что обратно пропорциональна упругости пружины, массе груза; кроме того, обе эти флуктуации прямо пропорциональны температуре среды.

Флуктуационные отклонения указывают на предел, до которого имеет смысл повышать чувствительность измерительных приборов.