§ 7. ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ ДЛЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Допустим, что твердое тело А (рис. 1.19, а) может вращаться вокруг некоторой неподвижной оси. Для того чтобы вызвать вращение тела (изменить его угловую скорость), необходимо внешнее воздействие. Однако сила направление которой проходит через ось вращения, или сила параллельная оси, не могут изменить угловую скорость тел.

Рис. 1.19

Поэтому из приложенной к телу внешней силы необходимо выделить составляющие не вызывающие вращения. Вращение может быть вызвано только силой (вращаюшей силой), лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения и направленной по касательной к окружности, которую описывает точка ее приложения.

Заметим, что при вращении тела составляющие работы не совершают, так как точка приложения этих сил перемещается перпендикулярно их направлениям. Работу совершает только вращающая сила она является проекцией действующей на тело силы на направление движения точки приложения этой силы.

Определим величину работы которую совершает вращающая сила, если точка приложения ее смещается по окружности радиуса на (рис. 1.19, б). Предположим, что величина силы при этом остается постоянной. Тогда

Произведение вращающей силы на радиус есть момент вращающей силы, или вращающий момент, действующий на данное тело, и обозначается через (напомним, что моментом данной силы относительно какой-нибудь оси называется произведение этой силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, проведенного от указанной

оси до направления действия силы). Таким образом, в формуле (2.8)

следовательно, работа, совершаемая вращающим моментом, равна произведению этого момента на угол поворота тела:

Если вращающий момент (сила или ее плечо ) с течением времени изменяется, то совершаемая работа определяется как сумма:

Момент вращающей силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью вращения; положительную ориентировку этого вектора выбирают в том направлении, в котором перемещался бы правый винт, вращаемый этим моментом.

Вращающий момент приложенный к телу, сообщает ему некоторое угловое ускорение согласно выбранным нами направлениям векторов они ориентированы по оси вращения в одну и ту же сторону. Связь между величиной вращающего момента и величиной сообщаемого им углового ускорения можно установить двумя способами:

а) можно воспользоваться тем, что работа движущей силы равна изменению кинетической энергии тела, к которому эта сила приложена: Для вращающегося тела, согласно формулам (2.9) и (2.4), имеем

Здесь мы предполагаем, что момент инерции тела при вращении не изменяется. Разделив это уравнение на и сократив на получаем

б) можно воспользоваться тем, что момент вращающей силы равен сумме моментов сил, которые сообщают отдельным составным частям тела тангенциальные ускорения эти силы равны а их моменты —

Заменим тангенциальные ускорения на угловое ускорение, которое одинаково для всех частиц вращающегося тела (если тело при вращении не деформируется): Тогда

Формула (2.12) выражает основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирую-щихся) тел, для которых

угловое ускорение, приобретаемое телом под действием данного вращающего момента прямо пропорционально величине этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:

В векторной форме этот закон записывается в виде

Если тело при вращении деформируется, то момент инерции его относительно оси вращения будет изменяться. Мысленно представим вращающееся тело состоящим из множества элементарных (точечных) частей; тогда деформация всего тела будет означать изменение расстояний от этих частей тела до оси вращения. Однако изменение расстояния данной угловой скорости вращения со будет сопровождаться изменением линейной скорости движения этой частицы следовательно, и ее кинетической энергии. Таким образом, при постоянной угловой скорости вращения тела изменение расстояний (следовательно, изменение момента инерции тела) будет сопровождаться изменением кинетической энергии вращения всего тела.

Из формулы (2.4), если полагать переменным, можно получить

Первое слагаемое показывает изменение кинетической энергии вращающегося тела, которое произошло только вследствие изменения угловой скорости вращения (при данном моменте инерции тела), а второе слагаемое показывает изменение кинетической анергии, которое произошло только вследствие изменения момента инерции тела (при данной угловой скорости вращения).

Однако при изменении расстояния от точечного тела до оси вращения внутренние силы, связывающие это тело с осью вращения, будут совершать работу: отрицательную, если тело удаляется, и положительную, если тело приближается к оси вращения; эта работа может быть рассчитана, если полагать, что сила, связывающая частицу с осью вращения, численно равна центростремительной силе:

Для всего тела, состоящего из множества частиц с массами получим

В общем случае, когда на тело действует внешний вращающий момент изменение кинетической энергии должно быть приравнено сумме двух работ: внешнего вращающего момента и внутренних сил При ускоренном вращении величины будут иметь положительные знаки, — отрицательный

знак (так как частицы тела удаляются от оси вращения); тогда

Подставив сюда значение из выражения (2.15) и заменив на получим

или после сокращения

Это есть общий вид основного закона механики для тел, вращающихся относительно неподвижной оси он применим и для деформирующихся тел. При формула (2.16) переходит в формулу (2.14).

Заметим, что у деформирующихся тел изменение угловой скорости вращения возможно и при отсутствии внешнего вращающего момента. Действительно, при -из формулы (2.16) получаем:

В этом случае угловая скорость вращения со изменяется только вследствие изменения момента инерции тела, вызванного внутренними силами.

Рис. 1.20

Формула (2.17) наглядно иллюстрируется при помощи скамьи . Жуковского (рис. 1.20) — круглой платформы, которая может с малым трением вращаться относительно вертикальной оси. Если грузы приближаются к оси вращения, то момент инерции системы уменьшается, а угловая скорость вращения увеличивается; при удалении грузов от оси вращения угловая скорость вращения уменьшается

Получим два следствия из формулы (2.13), аналогичные выражениям Допустим, что тогда и т. е. вращение будет равноускоренным; для некоторого промежутка времени можно написать:

Подставив эти величины в формулу (2.13), получим:

Основной закон динамики вращательного движения (см. формулу (2.13)) аналогичен второму закону Ньютона, Можно указать также и

на закон, аналогичный третьему закону Ньютона: если одно тело действует на другое тело с некоторым вращающим моментом то второе тело всегда оказывает обратное воздействие на первое с вращающим моментом равным и противоположно направленным

Произведение момента инерции вращающегося тела на угловую скорость вращения называется моментом импульса или моментом количества движения этого тела.

Так как скаляр, а вектор, то момент импульсу есть векторная величина, ориентированная по направлению вектора угловой скорости

Для точечной массы ту вращающейся по окружности радиуса с линейной скоростью момент импульса равен

и направлен по оси вращения (по правилу «правого винта»).

Момент силы выражается в ньютон-метрах момент импульса (количества движения) — в килограмм-метрах в квадрате на секунду в системе единицами этих величин являются диё-см и