УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Однако для электронов, протонов, нейтронов и других частиц волны, которые были бы ответственны за дифракцию и в то же время доступны непосредственному изучению при помощи соответствующей физической аппаратуры, не обнаружены. Поэтому для описания волновых свойств этих частиц и, в частности, их дифракции можно ввести некоторую, пока неизвестную, величину подчиненную стандартному волновому уравнению (см. ч. III, § 29). По аналогии с вектором электромагнитной волны, будем трактовать рассчитанную для объема как величину, определяющую вероятность нахождения частицы в пределах этого объема. Для простоты воспользуемся уравнением для амплитуды плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси

В это «волновое уравнение» необходимб «вложить» физические свойства той частицы, поведение которой мы собираемся описывать величиной Очевидно, что для этой цели необходимо использовать соотношение, которое связывает волновые и корпускулярные свойства частиц, т. е. формулу де Бройля. Подставив в (2.21) получим

Однако это уравнение было бы достаточно только для выяснения траектории свободной частицы, например, при ее прохождении через щель, дифракционную решетку или при отражении от плоскостей кристаллов и т. п. Если же на частицы действуют какие-нибудь внешние силы (например, если электрон движется во внешнем для него электрическом или магнитном поле — в ускорителях, измерительных приборах и т. д.), то поведение частиц будет определяться также и теми внешними полями, которые действуют на данную частицу. Если мы желаем,

чтобы уравнение (2.22) учитывало воздействие на частицы этих внешних полей, то можно поступить следующим образом. Полная энергия частицы, движущейся в силовом поле, есть сумма кинетической энергии и потенциальной энергии где заряд частицы (соответствующий этому полю), а потенциал в данной точке поля:

При перемещении частицы в поле три величины будут переменными. Воспользуемся тем, что волновое уравнение (2.22) содержит кинетическую энергию и произведем замену:

Тогда окончательно

В общем случае, когда решается не плоская задача, т. е. когда необходимо рассчитывать движение частиц в трех измерениях, вместо будет написана сумма обозначаемая и называемая «лапласианом» функции

Это уравнение позволяет решить ряд важных задач квантовой физики; оно было выведено Шредингером (1926) и носит его имя. Это уравнение применимо для частиц, скорости которых малы по сравнению со скоростями света; для больших скоростей имеются более точные уравнения.

Выбирая величину мы полагаем ее непрерывной и однозначной функцией от координат (вообще говоря, будет функцией также и времени). Так как значение в пределах какого-нибудь элементарного объема должно быть связано с вероятностью нахождения частицы в этом объеме, то дополнительно полагают, что эта вероятность должна быть пропорциональна квадрату модуля (т. е. есть плотность вероятности нахождения частиц в окрестности интересующей нас точки а координатами . Поэтому если нам известно, что частица находится в пределах объема V, то суммарная вероятность для этого объема должна быть равна единице:

Второе соотношение называется нормировочным условием для функции

Подчеркнем важное обстоятельство: согласно формуле (2.24), вероятность нахождения частицы в определенной точке равна нулю. В квантовой физике имеет смысл определять вероятность нахождения частиц только в некоторой, не равной нулю области пространства; при или для очень малых объемов эта вероятность будет пропорциональна объему.