§ 30. ЛАМИНАРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Жидкость (газ) может быть приведена в движение различными силами: силой тяжести, разностью давлений в различных местах объема, силами трения (вязкости) между слоями, движущимися с различными скоростями, и т. п. Проведем в потоке жидкости линию тока так, чтобы вектор скорости в каждой точке лежал на касательной к этой линии. Течение называется установившимся (стационарным), когда форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой (или струя) скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

Если можно пренебрегать сжимаемостью жидкости (газа) и силами вязкости, то для установившегося течения в каждой точке линии тока соблюдается соотношение (уравнение Д. Бернулли)

Для вывода этого уравнения рассмотрим струю жидкости между сечениями боковая поверхность которой образована линиями тока (рис. 1.70). За малое время сквозь сечение пройдет элементарный объем жидкости в форме цилиндра с основанием и высотой каждая единица объема прошедшей через жидкости вносит кинетическую энергию и потенциальную энергию Внешняя сила действующая в сечении смещает указанный объем жидкости на и поэтому совершает положительную работу, равную За то же время через второе сечение выйдет жидкость в объеме цилиндра а внешняя сила совершит отрицательную работу, равную При установившемся состоянии течения

полная энергия жидкости в объеме струи между сечениями должна оставаться постоянной, поэтому сумма изменений всех видов энергии и работ внешних сил должна равняться нулю:

Предположим, что жидкость несжимаема и струя не имеет разрывов; тогда объемы жидкости, ежесекундно поступающей через и выходящей через будут равны:

Произведя сокращения, получаем уравнение (6.4).

Рис. 1.70

Рис. 1.71

Уравнение Бернулли применяется для решения некоторых задач гидро- и аэромеханики. Приведем два примера:

1) расчет скорости истечения жидкости из резервуара. Для двух точек линии тока 1 и 2 имеем (рис. 1.71)

Так как равны наружному давлению воздуха очень мала, то

Для струи газа, выходящего из сосуда с высоким давлением в сосуд с низким давлением пренебрегая получим

2) расчет давления в узком сечении потока (рис. 1.72). Полагая найдем

Так как то и может быть сделано меньше атмосферного. Этим можно воспользоваться для всасывания газа или жидкости в трубу через боковые отверстия С.

Кроме сил тяжести и разности давлений движение жидкости (газа) можно вызвать или затормозить силами трения между ее слоями. В ламинарном потоке жидкости (газа) сила трения между двумя соседними слоями, движущимися со скоростями равна (рис. 1.73)

где — коэффициент вязкости (динамический); градиент скорости потока в данном месте, т. е. быстрота изменения скорости в направлении, перпендикулярном самой скорости, следовательно, и площадке также площадь соприкосновения). Характер изменения скорости по мере удаления от стенок трубы или канала показан кривой а; у самих стенок вследствие прилипания жидкости и торможения ее шероховатой поверхностью стенки скорость течения равна нулю. Коэффициент вязкости измеряется в ньютон-секундах на квадратный метр а в системе в пуазах Коэффициент вязкости жидкостей зависит заметно от температуры: у воды при 0° С , а при 15° С уже делается равной . У воздуха соответственно:

Рис. 1.72

Рис. 1.73

В некоторые формулы входит отношение которое называется кинематической вязкостью жидкости (газа) и измеряется в квадратных метрах на секунду

На тело, движущееся внутри жидкости или газа, а также на тело, обтекаемое движущимся потоком жидкости или газа, действуют:

1) касательные силы трения между телом и обтекаемой жидкостью (газом). Для каждого элемента поверхности (рис. 1.74) эта сила определяется градиентом скорости потока в пограничном слое и коэффициентом вязкости; она направлена по касательной к обтекаемому элементу поверхности;

2) нормальные силы давления зависящие от значения давления в потоке возле каждого элемента и направленные перпендикулярно ему

Векторное сложение этих сил для всей обтекаемой поверхности определяет величину, направление и точку приложения полной силы, действующей на тело в потоке жидкости (газа):

Проекция на направление потока называется лобовым сопротивлением; другая составляющая, если она направлена вертикально вверх, называется подъемной силой.

Рис. 1.74

Величина этих сил зависит от формы (обтекаемость) и размеров тел, их расположения относительно потока (угол атаки а, рис. 1.74), состояния обтекаемой поверхности (шероховатость) и, кроме того, определяется скоростью движения тела или обтекающего потока и свойствами жидкости (плотностью, коэффициентом вязкости и т. д.). Измерение и вычисление этих сил составляют важную задачу аэрогидродинамики: Выдающиеся исследования в этой области принадлежат Н. Е. Жуковскому, С. А. Чаплыгину и др.