§ 2. ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ НЬЮТОНА. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

СИЛА. ДЕФОРМАЦИЯ. МАССА

В механике для описания воздействия одних тел на другие пользуются понятием силы: силой называется всякое воздействие на данное тело, в результате которого тело получает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Рассмотрим сначала деформацию твердых тел под воздействием различных сил. Деформация называется упругой, если при прекращении действия сил тело принимает в точности первоначальную форму и размеры. Реальные тела обнаруживают в той или иной степени остаточную деформацию, т. е. после прекращения действия сил они не возвращаются в точности к первоначальным размерам. Если

деформирующие силы слабы, то вызываемые ими небольшие деформации тел оказываются почти упругими.

Рассмотрим простейший вид деформации — удлинение стержня или проволоки под действием некоторой растягивающей силы Пусть длина стержня I под действием этой силы увеличивается на Опыт показывает, что при упругой деформации величина пропорциональна растягивающей силе длине стержня обратно пропорциональна площади поперечного сечения стержня и зависит от упругих свойств вещества, из которого сделан стержень. Эта зависимость записывается в виде

где величина называемая модулем Юнга (модулем продольной упругости), зависит от вещества стержня. Обозначим относительное удлинение через Отношение показывает, какая растягивающая сила приходится на единицу площади поперечного сечения стержня, и называется нормальным механическим напряжением. Тогда

т. е. относительное удлинение стержня или проволоки пропорционально нормальному напряжению. Прямая пропорциональность между относительной деформацией и соответствующим напряжением наблюдается и для других видов упругой деформации и называется законом к а.

Силы, сообщающие телом ускорения или деформирующие их, можно разделить на две группы:

а) силы, распределенные по объему тела и пропорциональные массам отдельных частей этого тела. Такой «распределенной» силой является, например, сила тяготения. Заметим, что распределенные силы не зависят от того, каким образом связаны между собой отдельные части данного тела; если тело, притягивающееся к Земле, разрезать на части, то силы тяготения, действующие на эти части, остаются без изменения;

б) силы сосредоточенные, т. е. приложенные к определенному месту тела — в какой-нибудь точке, вдоль некоторой линии или поверхности. В этом случае действие внешней силы передается от одних частей тела к другим благодаря существованию взаимной связи между ними.

Рассмотрим действие распределенных и сосредоточенных сил. Если на тело действует распределенная сила, сообщающаяся каждому элементу этого тела одно и то же ускорение (по величине и направлению), то все тело будет двигаться с этим ускорением и при этом не будет деформировано. Например, тело малых размеров, свободно падающее в поле тяготения Земли, не деформировано, так как все его составные части движутся с одинаковыми ускорениями. Распределенные силы могут вызвать деформацию тела в том случае, если ускорения, которые сообщаются отдельным элементам тела, несколько отличаются по численному значению или направлению.

Если на тело действует сосредоточенная сила, то тело всегда деформируется. Допустим, что к сложной пружине, состоящей из четырех одинаковых элементов, в точке А приложена некоторая сосредоточенная сила, вследствие чего вся пружина движется с ускорением в направлении действия силы (рис. 1.6, а). Пружина деформируется и притом тем сильнее, чем больше ускорение; кроме того, элементы пружины, расположенные ближе к точке приложения силы, растянуты больше, чем элементы, находящиеся дальше от этой точки. Действительно, деформация элемента 1 должна быть такой, чтобы сила, приложенная со стороны этого элемента к точке В, сообщала ускорение элементам 2, 3 и 4. Деформация элемента 2 должна быть меньше, так как этот элемент сообщает ускорение только третьей и четвертой пружинам и т. д.

Рис. 1.6

Из изложенного видно, что величину силы можно определить как по ускорению, которое эта сила может сообщить, так и по деформации, которую эта сила вызывает. Рассмотрим систему из двух тел, связанных упругой пружиной и совершающих колебательные движения (рис. 1.6, б). При малых ускорениях деформации колеблющихся тел незначительны и трудно измеряемы, поэтому силы, действующие на эти тела со стороны пружины, легче определить по величине ускорений, которые они приобретают, чем по степени деформаций этих тел. Наоборот, силы, действующие на пружину со стороны тел значительно удобнее определять по величине деформации самой пружины — изменению ее длины, а не по величине ускорений, которые сообщаются различным участкам пружины.

Рассмотрим еще один пример: допустим, к потолку кабины лифта (рис. 1.7) подвешено на пружине некоторое тело. Если кабина неподвижна, то пружина деформирована настолько, чтобы уравновесить притяжение тела к Земле, т. е. сообщить телу ускорение, равное и направленное вверх. Если кабина получает ускорение а вверх, то деформация пружины увеличивается, так как пружина должна сообщить телу ускорение, равное При этом сила, деформирующая пружину, равна При опускании лифта с

ускорением а деформация пружины уменьшается; в этом случае пружина должна сообщить телу ускорение, равное При помощи измерения можно установить связь между деформацией пружины и величиной ускорения сообщаемого этой пружиной телу.

Для измерения сил можно выбрать либо эталонные пружины и измерять силы по величине деформации этих пружин, либо эталонное тело и измерять силы по величине ускорений, которые сообщаются этому телу. Первый способ имеет преимуществоперед вторым: измерение деформации эталонных пружин (их удлинения или изгиба) произвести значительно проще, чем определить ускорение эталонного тела. Однако существенным недостатком первого способа является изменение упругих свойств пружины под действием различных факторов, среди которых могут быть и не контролируемые. Кроме того, реальные пружины обнаруживают «остаточную деформацию».

Рис. 1.7

Второй способ, основанный на определении ускорений, которые сообщаются силами эталонному телу, в этом отношении безупречен, но практически весьма громоздок и не всегда применим.

Если к двум различным местам тела приложены две сосредоточенные силы (или одна сила — сосредоточенная, а другая — распределенная), то возможно такое соотношение этих сил, когда суммарное ускорение тела равно нулю. Говорят, что в этом случае силы «уравновешивают» друг друга; ускорения, которые сообщают эти силы данному телу, равны по величине и противоположны по направлению. Однако, если векторная сумма ускорений, сообщаемых «уравновешенными» силами, равна нулю, то сумма деформаций, вызываемых этими силами, не равна нулю т. е. уравновешенные силы, приложенные в различных местах тела, вызывают деформацию тела. Например, если к телу (пружине) приложены две сосредоточенные силы (рис. 1.8, а), то тело оказывается деформированным, даже если суммарное ускорение его движения равно нулю.

Рис. 1.8

Следует иметь в виду, что деформировано и всякое тело, покоящееся в поле тяготения Земли — подвешенное или опирающееся на поверхность Земли. Это легко заметить у длинной пружины, поставленной на

горизонтальную опорную поверхность (рис. 1.8, б). Здесь распределенная сила тяжести уравновешивается сосредоточенной силой, приложенной к пружине со стороны опорной поверхности. Суммарное ускорение, сообщаемое всей пружине в целом или отдельным ее элементам, равно нулю, но тело деформировано. Подобно примеру, приведенному на рис. 1.6, деформация участков пружины, расположенных близко к месту приложения сосредоточенной силы (т. е. к поверхности , больше, чем деформация участков, расположенных выше.

Выбрав какой-нибудь способ измерения силы, можно установить, что одна и та же сила сообщает различным телам различное ускорение. Условились называть массой свойство тел, которое определяет величину ускорения, приобретаемого телами под действием данных сил. Таким образом, измерение массы связано с измерением сил.

Масса тела характеризует меру его инертности, т. е. свойство сохранять приобретенное движение или состояние покоя.

Допустим, что эталонная пружина, растянутая (или сжатая) на сантиметров, сообщает измеряемому телу ускорение а, а эталонному телу — ускорение Для каждого тела отношение оказывается постоянным и не зависящим от Это отношение приравняется обратному отношению масс тела и эталона и тогда

Масса тела, определяющая величину ускорения, приобретаемого телом под действием сил, иногда называется инертной массой (о «весомой» массе см. § 5; о массе, не связанной с ускорением, а определяемой только энергией см. § 1 ч. IV).