§ 11. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Вычислим суммарную работу внешних и внутренних сил; допустим, что за время в течение которого эти силы можно полагать постоянными, тело сместилось на тело на

На основании выражения (1.33) для каждого тела, входящего в состав системы, можно написать:

где углы между направлениями сил и смещений.

Сложив левые и правые части этих уравнений, получим

Обозначив суммарную работу всех внешних сил внеш» суммарную работу всех внутренних сил суммарную кинетическую энергию всех составных частей системы можем переписать уравнение (3.10) в виде

где суммарная кинетическая энергия в системе в начальный момент времени.

Если внешние силы отсутствуют или их работа равна нулю, то изменение суммарной энергии в системе вызывается только работой внутренних сил, причем эта работа может быть положительной или отрицательной. Совершение работы внутренними силами сопровождается переходом системы из одного состояния в другое, т. е. изменениями в относительном расположении составных частей системы. Заметим, что внутренние силы могут совершать только ограниченное количество отрицательной или положительной работы.

Условимся называть потенциальной энергией системы величину зависящую от относительного расположения составных частей системы, уменьшение которой равно положительной работе внутренних сил:

где начальное значение потенциальной энергии. Таким образом, согласно нашему условию, если внутренние силы совершают положительную работу, то потенциальная энергия системы уменьшается если же внутренние силы совершают отрицательную работу, то потенциальная энергия системы увеличивается . С другой стороны, согласно уравнению (3.11), при внеш положительная работа внутренних сил сопровождается увеличением кинетической энергии в системе, т. е. Следовательно,

откуда получаем важный результат

выражающий закон сохранения механической энергии:

если на систему внешние силы не действуют или их суммарная работа равна нулю, то сумма кинетической и потенциальной энергии в системе с течением времени не изменяется:

Для соблюдения этого закона помимо условия Лвнеш необходимо еще одно условие — чтобы внутренние силы не производили в системе иного действия, кроме сообщения телам ускорения, т. е. чтобы в системе не происходило превращения механической энергии

в другие виды энергии. Только в этом случае работа внутренних сил будет в точности равна изменению кинетической энергии системы. Если же такой переход имеет место, то работу внутренних сил следует приравнять изменению не только кинетической энергии, но и изменению других видов энергии:

где изменение других видов энергии, которое произошло в системе за время

Закон сохранения механической энергии является, таким образом, частным случаем всеобщего закона сохранений энергии, согласно которому в изолированной системе сумма всех видов энергии с течением времени не изменяется.

Если в системе существует трение, то при относительном движении трущихся тел происходит разрушение их поверхностей и часть механической энергии системы постепенно превращается в теплоту. Упорядоченное движение составных частей системы превращается при трении в беспорядочное движение атомов и молекул.

Для измерения и расчета убыли механической энергии вследствие трения вводят понятие силы трения. Полагают, что при относительном движении двух трущихся тел между ними возникает некоторая сила обусловленная характером трения; работа этой силы (или приравнивается той части механической энергии этих тел, которая превращается в теплоту. В качестве примера рассмотрим скольжение тела по наклонной плоскости под действием силы тяжести При этом нормальная составляющая действующей силы (а — угол между ) не может изменять скорости движения тела по величине и поэтому работы не совершает. Однако эта сила, прижимая движущееся тело к плоскости скольжения, вызывает между ними силу трения которая оказывается пропорциональной величине :

где называют коэффициентом трения зависит от материала трущихся тел, состояния поверхностей трения, наличия смазки, температуры, а также от скорости относительного движения). Тангенциальная составляющая силы тяжести а совершает работу, идущую на увеличение кинетической энергии тела. Однако при наличии трения часть кинетической энергии, которую сила сообщает телу, переходит в теплоту; поэтому при движении с трением необходимо из работы движущей силы вычесть работу силы трений:

В частности, если на пути вся кинетическая энергия, полученная телом, переходит в теплоту, то можно сказать, что положительная работа движущей силы равна отрицательной работе силы трения.