ФОРМУЛА ПЛАНКА

Законы Кирхгофа для теплового излучения тел (монохроматического или интегрального) позволяют определить спектральные и интегральные характеристики излучения различных тел, если экспериментально измерены соответствующие коэффициенты поглощения. При этом должно быть известно равновесное распределение энергии в спектре полного излучения (абсолютно черного тела), т. е. вид функции и Так как упомянутые выше «модели» не являются достаточно точным приближением к полному (идеальному) излучателю, то были сделаны попытки теоретического вывода этой функции с последующим сопоставлением с результатами измерений. Эта задача была успешно решена Планком (1900), предложившим идею о квантовом характере излучения атомов и молекул. Для спектральной плотности энергетической светимости полного излучателя им была получена формула (в функции от или X)

которая хорошо согласуется с результатами измерений, проведенных на «моделях» абсолютно черного тела. Пользуясь формулами (2.67), можно рассчитать ту часть энергии, которая содержится в единице объема и приходится на монохроматический участок спектра. Эта энергия связана с соотношением и равна:

Имеется несколько различных подходов к выводу этой формулы; приведем вывод, основанный на использовании статистики Бозе —

Эйнштейна и идеи Планка о квантовом характере излучения. Воспользуемся представлением о «фотонном газе» и отметим различие между ним и идеальным газом:

1) в идеальном газе функция распределения молекул по энергиям переходит к равновесному виду благодаря столкновениям. В фотонном газе обмена энергиями между фотонами не происходит и их распределение по энергиям изменяется только теми телами, которые поглощают и испускают фотоны. Ввиду этого тела («тепловые излучатели») навязывают фотонному газу определенное распределение энергии по спектру, соответствующее распределению «осцилляторов» самого тела по их энергетическим уровням;

2) число молекул идеального газа при нагревании и охлаждении остается постоянным, тогда как число фотонов в равновесном тепловом излучении (в единице объема) увеличивается с повышением температуры;

3) молекулы идеального газа имеют одинаковые массы, но различные скорости, импульсы и энергии; фотоны же имеют одинаковые скорости, но различные массы, импульсы и энергии.

Рис. IV.77

Ввиду этого вместо «пространства скоростей», которое было использовано для молекул идеального газа (см. рис. IV.70, § 12), для фотонного газа воспользуемся «пространством импульсов», в котором каждая «точка» А будет обозначать один фотон, движущийся в направлении и имеющий импульс (рис. IV.77). Число фотонов, энергия которых заключена в интервале будем полагать пропорциональным объему кольцевого слоя с радиусом и толщиной

где функция от частоты колебаний и температуры тела — есть «плотность», с какой заполнен «точками» этот слой. Это число необходимо удвоить ввиду того, что в каждом направлении могут распространяться два фотона одинаковой энергии с противоположными направлениями поляризации.

Плотность с которой заполнено такими «точками» пространство импульсов, обусловлена той плотностью, с которой «частицы-осцилляторы» в тепловых излучателях заполняют соответствующие участки энергетического спектра. Воспользуемся простым приемом: 1) каждый атом, испускающий набор частот можно заменить атомами, каждый из которых испускает фотоны только одной частоты; 2) атом, испускающий фотоны раз в секунду, можно заменить «подсистемой», имеющей в своем составе возбужденных «частиц-осцилляторов», излучающих один раз в секунду. Благодаря этому тепловой излучатель может быть уподоблен системе, рассмотренной в § 12. В формуле (2.37) положим (фотон либо имеет энергию

либо не существует); относительное число возбужденных осцилляторов с энергией есть относительное число ежесекундно испускаемых фотонов, имеющих эту же энергию, поэтому

Умножив на два и на и подставив значение получим

которое в раз больше, чем Этот результат означает, что «пространство импульсов» для фотонов необходимо разделить на равные клетки, имеющие объем в каждой такой клетке может находиться только одна точка, изображающая один фотон. Этот прием широко применяется в квантовой физике.

Рис. IV.78

В области очень коротких и очень длинных участков спектра формулу Планка можно заменить приближенными формулами:

На рис. IV.78 даны графики, соответствующие этим формулам; точками изображены результаты измерений, подтверждающие формулу Планка.