§ 4. О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ ФИЗИКИ

Изучение физических объектов состоит из нахождения:

1) состава и структуры объекта, физических свойств частиц, из которых состоит объект, и самого объекта в целом;

2) законов, управляющих поведением объекта в зависимости от данных внешних воздействий;

3) последовательности состояний, проходимых объектом с течением времени.

Процесс исследования заключается в том, чтобы по найденным сведениям определить неизвестное. Например, при экспериментальном изучении данного объекта можно найти его состав, структуру, свойства и последовательность пробегаемых состояний; после этого, анализируя полученные сведения, можно выявить те законы, которые управляют поведением объекта и определяют течение рассматриваемого процесса. В другом случае можно воспользоваться известными законами и на основании экспериментально наблюдаемого течения изучаемого процесса вынести некоторые заключения о составе и структуре объекта и т. п.

(см. скан)

Рассмотрим следующую весьма общуй) задачу. Допустим, что на рисунке точки условно изображают начальное и конечное состояния некоторой физической системы, а сплошная линия процесс перехода, т. е. последовательность состояний, пробегаемых системой при переходе из Далее допустим, что пунктирные линии означают последовательности состояний, которые разрешаются общими законами сохранения (энергии, импульса, момента импульса и др.), но которые не реализуются в действительности (здесь необходимо отметить, что законы сохранения однозначно не предопределяют направление и интенсивность происходящих в природе процессов, т. е. являются не управляющими законами, а соблюдающимися

законами). Возникает интересная и важная проблема: найти способ выделения реализующегося процесса перехода (а) от возможных допускаемых законами сохранения, если конкретные законы, определяющие эти процессы, нам неизвестны. По существу, это означает, что мы хотим найти законы, управляющие процессом перехода. Очевидно, что при решении такой задачи надо исходить из каких-то новых положений, использовать какие-то новые предположения, новые свойства системы; одно только задание начального и конечного состояний системы и законов сохранения недостаточно. Решение подобных задач найдено на основе вариационного принципа наименьшего действия Гамильтона. Постулируется, что для каждой физической системы можно найти такую функцию состояния системы имеющую размерность энергии, при помощи которой реальные процессы, происходящие в этой системе, выделяются среди других (допускаемых свойствами системы и условиями, в которых она находится) минимумом интеграла действия:

В вариационном исчислении доказано, что требование минимума (или экстремума) интеграла (23) выполняется, если для каждой величины соблюдается соотношение

где Эти соотношения и выражают искомые конкретные законы, управляющие физическими процессами, которые происходят в системе с заданным видом функции Эта функция называется лагранжианом данной системы. В теоретической физике показано, что для многих физических систем имеется общее выражение для лагранжиана

где сумма кинетических энергий всех частиц данной системы, потенциальная энергия системы. Таким образом, согласно принципу наименьшего действия, существует весьма общее выражение (25) для лагранжиана; написав для данной физической системы конкретную форму этой функции состояния, можно по формулам (24) найти законы, действующие в рассматриваемой системе.

Допустим, что система — механическая, состоящая в простейшем случае из двух тел с кинетическими энергиями и потенциальной энергией гравитационного взаимодействия расстояния от тел до центра масс этой системы). Лагранжиан этой системы будет равен

Воспользуемся соотношениями (24):

Так как сила гравитационного взаимодействия между телами равна то из этого соотношения следует

Аналогичная формула будет получена и для второго тела. Таким образом, из принципа наименьшего действия и при выборе подходящего выражения для лагранжиана получается основной закон механики, однозначно определяющий течение механических процессов в системе.

В теоретической физике показано, что лагранжиан частицы (например, электрона), имеющей заряд массу и находящейся в электрическом поле с потенциалом (определяющим напряженность и магнитном поле с вектор-потенциалом А (определяющим напряженность Я), имеет вид

Эту формулу можно переписать в виде

Заметим, что в первой скобке содержатся величины, связанные со скоростью частицы (эти величины становятся равными нулю при а во второй скобке — величины, определяющие энергию частицы, как движущейся, так и покоящейся. Так как скорость и импульс частицы определяют «волновое» поведение частицы (см. ч. IV, § 10, И), а энергия — «корпускулярное», то можно утверждать, что лагранжиан частицы выражает корпускулярно-волновой дуализм элементарных частиц.

Выше (см. формулу (15)) было показано, что величина может быть представлена через дебройлевскую длину волны или через некоторую частоту колебаний (которую будем называть дебройлевской). Известны опыты, показывающие, что магнитное поле смещает интерференционную картину, образованную электронами после прохождения через щели, причем в пространстве, в котором перемещались электроны, напряженность магнитного поля была равна нулю, но вектор-потенциал (см., например, «Фейнманов-ские лекции по физике», 1965, т. 6, с. 23—26). Таким образом, обе величины написанные в первой скобке, связаны с дебройлевскими волнами. Во второй скобке оказались величины, определяющие: 1) энергию частицы в электрическом поле и 2) энергию не связанную с полями (напомним, что магнитное поле не может изменить энергию частицы, так как действует на них с силой, всегда перпендикулярной скорости движения; см. ч. III, § 19, 20). Если обе эти скобки по аналогии с (15) и (16) выразить через частоты колебаний («дебройлевских» — и «энергетических» — то

Тогда лагранжиан (27) частицы, движущейся в электрическом и магнитном полях, может быть записан в простом виде, явно

выражающем волновые и корпускулярные свойства этой частицы:

Допустим, что имеется физическая система, внутри которой каждая отдельная частица находится в суммарном электрическом поле других частиц, поэтому для одной частицы можно написать:

(где учитывает действие электрического поля на данную частицу), а для системы из взаимодействующих частиц

Очевидно, что величину можно отождествить с полной энергией электрического поля, существующего в системе, или же с ее переменной частью — потенциальной энергией системы. Таким образом, обычное деление полной энергии системы на кинетическую и потенциальную составляющие означает раздельный учет зависимости частоты колебаний от массы частиц и от действия силовых полей.

Выберем некоторый промежуток времени и рассчитаем общее число «энергетических» и «дебройлевских» колебаний в системе за это время. Имеем:

Разность между ними

где обозначено

При малых скоростях движения переменная часть этой величины равна сумме кинетических энергий частиц в системе:

поэтому выражение

совпадает с общей формулой для лагранжиана физических систем (25). Ввиду этого содержание принципа наименьшего действия Гамильтона сводится к утверждению, что реальные процессы, происходящие в любой физической системе, выделяются минимальным значением разности между числами «дебройлевских» и «энергетических» колебаний.

Если разность характеризует изменения, которые произошли в системе за время то отношение можно сматривать как среднюю скорость изменения состояния системы.

В этом смысле лагранжиан является скоростью изменения состояния системы в данный момент времени (следует заметить, что для каждой функции состояния, введенной для описания данной системы, будет существовать своя «скорость изменения»; очевидно, что между этими скоростями, как и между самими функциями состояния, можно найти определенные соотношения).

В заключение заметим, что в микрофизических явлениях обнаруживается явная тенденция к уменьшению разности между частотами колебаний Для отдельной частицы эта разность равна

и зависит от массы покоя и скорости движения. Приведем несколько примеров:

1) при свободном движении заряженной частицы в электрическом поле его скорость возрастает, поэтому разность частот (34) убывает;

2) при переходе атома из возбужденных состояний в нормальное скорости электронов, вращающихся по стационарным орбитам, возрастают;

3) при формировании физических систем (атомов, ядер и т. п.) из свободных частиц массы покоя частиц уменьшаются, а их скорости движения возрастают;

4) при аннигиляции частицы и античастицы образуются фотоны и нейтрино, у которых собственные массы равны нулю, а скорости имеют предельные значения.