ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО—ГАУССА

Рассмотрим применения этой теоремы для расчета электрических полей вокруг внутри некоторых заряженных тел.

1. Поле шара, равномерно заряженного по объему. Обозначим через избыточный электрический заряд, содержащийся в единице объема тела (иногда называемый «объемной плотностью заряда»). Для расчета вектора внутри этого шара в качестве замкнутой поверхности возьмем сферу радиуса (рис. III. 11, а). Из симметрии поля следует, что вектор вдоль этой поверхности везде одинаков по величине и направлен по радиусу Тогда с одной стороны, по определению, а с другой стороны, по теореме Остроградского — Гаусса,

Приравнивая эти выражения, получаем

т. е. внутри равномерно заряженного (по объему) шара индукция электрического поля равна нулю в центре и возрастает пропорционально расстоянию от центра шара. Для сферы, взятой за пределами шара, по определению, а по теореме Остроградского-Гаусса, , где заряд всего шара. Из этих соотношений получаем

т. е. за пределами объема шара индукция электрического поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояний от центра шара. Таким образом, имеет наибольшее значение на поверхности шара.

Рис. III.11

2. Поле шара, равномерно заряженного по поверхности (внутри шара избыточных зарядов нет). В этом случае для любой сферй, взятой внутри шара, следовательно, т. е. поле внутри шара отсутствует. Это означает, что в любой точке внутри шара сумма векторов индукции от всех точечных зарядов, лежащих на поверхности, равна нулю (если заряд распределен по поверхности шара неравномерно, то но ; выражение для содержит слагаемые противоположных знаков).

На самой поверхности равномерно заряженного шара, где радиус шара), согласно формуле (1.29), имеем

где отношение полного заряда шара к его поверхности — плотности зарядов на этой поверхности. Для точек, расположенных за пределами шара, применение теоремы Остроградского-Гаусса приводит к формуле (1.29).

3. Поле бесконечно длинного равномерно заряженного (по объему или по поверхности) цилиндра. В этом случае вектор будет везде перпендикулярен оси цилиндра. Длярасчета поля в какой-нибудь точке А внутри цилиндра или в В вне цилиндра проводим через эти точки цилиндрические поверхности радиуса (на рис. III. 11, б они показаны пунктиром). Потоки вектора через основания этих цилиндров будут равны нулю а через боковые поверхности Если заряды расположены по поверхности, то для внутренних точек А будем иметь поэтому Для внешних точек В

где заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра. Если же заряды расположены по объему с плотностью то для точек В получится та же формула (1.30),

а для внутренних точек и

Заметим, что индукция на поверхности равномерно заряженного цилиндра равна поверхностной плотности а. Обозначив радиус цилиндра через и рассмотрев участок длиной имеем

что совпадает с формулой (1.30) при Таким образом, на поверхности цилиндра

Итак, индукция электрического поля вдоль оси бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра равна нулю, а на его поверхности численно равна заряду, приходящемуся на единицу площади . В том случае, если заряды расположены только на поверхности цилиндра, поле внутри цилиндра отсутствует; если же цилиндр равномерно заряжен по объему, то индукция поля, согласно формуле (1.31), возрастает от нуля до пропорционально удалению от оси цилиндра. В обоих случаях поле за пределами цилиндра убывает (от значения на поверхности) обратно пропорционально расстоянию от оси цилиндра согласно формуле (1.30).

Рис. III.12

4. Поле безграничной равномерно заряженной плоскости; теорема Остроградского-Гаусса приводит к результату (см. формулу

5. Поле равномерно заряженного тонкого кольца (вдоль его оси). Допустим, что заряд на единице длины кольца; тогда индукция в точке А от заряда находящегося на элементе кольца (рис, III. 12). будет равна

Ввиду равномерности распределения заряда по кольцу сумма проекций векторов на плоскость, перпендикулярную оси кольца, будет равна нулю. Найдем сумму проекций на ось кольца:

где полный заряд кольца. Так как то окончательно

т. е. индукция поля в центре кольца равна нулю, а вдоль оси увеличивается в сложной зависимости от расстояния до центра.

6. Поле равномерно заряженного диска (вдоль его оси). Задача может быть решена разделением диска на элементарные кольца толщиной имеющие средний радиус площадь и заряд где а — поверхностная плотность зарядов на диске. Очевидно, что в каждой точке А, взятой на оси диска, вследствие симметричного расположения зарядов индукция будет направлена вдоль оси (для всех других точек вектор индукции будет лежать в одной

плоскости с осью диска). Индукция в точке от каждого элементарного кольца будет равна

Так как

где радиус диска. Окончательно

Если , т. е. вблизи поверхности диска поле такое же, как у бесконечной плоскости. Если то

где полный заряд диска; в этом случае поле диска будет мало отличаться от поля точечного заряда или шара.

7. Поле между обкладками шарового (сфериского) конденсатора. Обозначим радиус наружного шара через внутреннего — через Заряды будут распределены равномерно по поверхностям шаров с плотностями и (если плотности зарядов на обкладках равны, то количество зарядов на них будет различным). Для применения теоремы Остроградского-Гаусса выберем сферическую поверхность радиуса концентричную с обкладками. Ввиду симметричного (относительно центра шаров) расположения зарядов на обкладках вектор индукции в зазоре будет везде направлен по радиусу, а по величине одинаков вдоль выбранной поверхности, поэтому

т. е. индукция поля в зазоре между обкладками шарового конденсатора зависит от квадрата расстояния до центра. При этом различие между радиусами шаровых поверхностей не имеет значения.

8. Поле между обкладками цилиндрического конденсатор а. Обозначим через радиусы наружного и внутреннего цилиндров, а через заряд, находящийся на единице длины (внутреннего цилиндра). В зазоре между обкладками вектор индукции будет перпендикулярен оси конденсатора, а вдоль цилиндрической поверхности, соосной с обкладками, одинаков по величине. Для такой поверхности имеем:

Как и у сферического конденсатора, индукция электрического поля между обкладками цилиндрического конденсатора не зависит радиусов внешнего и внутреннего цилиндров, а зависит только от расстояния а до оси конденсатора и от линейной плотности заряда на обкладках