Глава 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В СИСТЕМЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ТЕЛ

§ 9. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА (КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ)

Рассмотрим систему взаимодействующих тел, в частности совокупность тел, взаимодействие и относительное движение которых определяется законами механики. Простейшими системами являются, например, два тела, притягивающиеся по закону всемирного тяготения; два тела, связанные упругой пружиной, и др.

Силы, действующие в системе, условно делят на две группы: 1) внутренние силы — это силы взаимодействия между составными частями системы. Согласно третьему закону механики, эти силы попарно равны и противоположно направлены, поэтому если произвести

векторное сложение всех внутренних сил, действующих между составными частями системы, то в сумме получится нуль;

2) внешние силы — это силы, приложенные к составным частям системы со стороны тел, не включенных в систему. Систему, на которую внешние силы не действуют, называют изолированной.

Рис. 1.26

Рассмотрим сначала простейшую механическую систему из двух тел, изображенную на рис. 1.26, где внутренние силы взаимодействия между телами, внешние силы (или равнодействующие внешних сил, если их несколько). Допустим, что промежуток времени, в течение которого каждую из этих сил можно с удовлетворительным приближением считать постоянной (по величине и направлению). Тогда на основании формулы (1.31) для каждого из тел можно написать:

где начальные скорости тел, их скорости по истечении времени Правые части этих уравнений выражают изменение импульса тел за время Чтобы найти полное изменение импульса в системе за это время, произведем сложение правых и левых частей уравнений (3.1):

Согласно третьему закону механики, векторная сумма сил взаимодействия равна нулю, т. е. Если внешние силы отсутствуют или их векторная сумма (равнодействующая) равна нулю, то из выражения (3.2) получается важный результат:

т. е. векторная сумма импульсов в системе остается постоянной. При этом возможно, что увеличение скорости одного тела сопровождается уменьшением скорости другого тела, но возможно, что обе скорости одновременно увеличиваются или уменьшаются; постоянным остается не сумма абсолютных значений импульсов, а сумма соответствующих векторов. Для примера рассмотрим два тела, притягивающихся друг к другу по закону тяготения; с течением времени их скорости увеличиваются, но изменение импульса первого тела в одном направлении компенсируется равным изменением импульса второго тела в противоположном направлении.

Другой пример: при выстреле под действием внутренних сил снаряд приобретает в одном направлении такой же импульс, который сообщается орудию в противоположном направлении; векторная сумма импульсов в этой системе, равная нулю до выстрела, остается равной нулю и после выстрела.

Если в системе имеется много тел, то можно рассматривать их взаимодействие между собой попарно и найти суммарное изменение импульса каждого из тел, входящих в состав системы:

Здесь равнодействующая всех внешних сил, равно действ вующая всех внутренних сил, действующих на первое тело, и т. д. Сложив левые и правые части этих уравнений, найдем суммарное изменение импульса в системе:

Векторная сумма всех внутренних сил в системе равна нулю по третьему закону механики, поэтому суммарный импульс в системе может быть изменен только под действием внешних сил. Обозначим векторную сумму всех внешних сил, действующих на систему, через тогда

Важным следствием из этого уравнения является закон сохранения импульса (количества движения) в системе:

если на систему внешние силы не действуют или их векторная сумма равна нулю, то суммарный импульс в системе с течением времени не изменяется:

Заметим, что внутренние силы, так же как и внешние, могут изменять величины скоростей тел, составляющих систему, но при отсутствии внешних сил это изменение происходит таким образом, что векторная сумма импульсов в системе остается постоянной. Например, при разрыве шрапнельного снаряда или авиационной бомбы в воздухе сумма векторов импульсов всех осколков равна вектору импульса снаряда или бомбы до разрыва (разумеется, при условии, что время разрыва очень мало и поэтому силы тяжести не вызовут заметного изменения импульсов осколков в процессе разрыва).

Векторное уравнение (3.6), выражающее закон сохранения импульса механической системы, моет быть представлено в виде совокупности трех скалярных уравнений:

т. е. не только сумма векторов импульсов, но и сумма проекций этих векторов на координатные оси (а вообще говоря, и на любое направление) остаются постоянными.

Рассмотрим частный случай, когда внешние силы, действующие на составные части системы, перпендикулярны некоторому направлению, например оси Тогда вдоль этого направления внешние силы

не могут сообщить телам тангенциального ускорения; следовательно, проекции скоростей составных частей системы на это направление могут быть изменены только силами взаимодействия. Однако внутренние силы взаимодействия не могут изменить как общий импульс в системе, так и суммарный импульс составных частей системы в любом выделенном нами направлении. Ввиду этого вдоль указанной выше оси сумма импульсов составных частей системы с течением времени изменяться не будет:

В этой формуле скорости, направленные вдоль положительной ориентации оси должны быть записаны со знаком плюс, а скорости, направленные в противоположную сторону, — со знаком минус.