§ 12. ДИФФУЗИЯ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ В ГАЗАХ; ЧИСЛО СТОЛКНОВЕНИЙ И ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ

Переход идеального газа из неравновесных состояний в равновесна происходит благодаря так называемым «явлениям переноса» — Диффузии, теплопроводности и внутреннему трению. В частности, равновесное протекание газовых процессов — изобарического, изотермического и др. — возможно только при наличии в газе этих явлений; благодаря им происходит непрерывное выравнивание плотности, давления и температуры в пределах объема газа. Это выравнивание происходит как при наличии, так и при отсутствии внешнего воздействия на газ. В некоторых случаях явления переноса представляют самостоятельный интерес, например когда необходимо рассчитать количество теплоты, проходящее через прослойку газа, или среднюю скорость течения газа через узкие трубки и т. д.

Рис. 11.21

Рассмотрим сначала диффузию; допустим, что плотность газа в различных местах его объема различна. На рис. 11.21 изображена условная «поверхность равной плотности» в окрестности каждой точки которой плотность имеет одно и то же значение а II есть такая же поверхность, соответствующая плотности

Выберем на поверхности I какую-либо точку и проведем из нее нормаль к поверхности, направленную в сторону возрастания плотности. Обозначим через расстояние между соседними «поверхностями равной плотности», измеренное вдоль этой нормали. Тогда отношение или, лучше, предел этого отношения

будет характеризовать быстроту изменения плотности в направлении нормали к «поверхности равной плотности»; эта величина называется градиентом плотности в данном месте.

Выберем некоторую площадку ориентированную перпендикулярно Так как плотность газа по обе стороны этой площадки различна, то число молекул, переходящих через в направлении убывания плотности, будет больше, чем в обратном направлении. Если умножить разность этих чисел на массу одной молекулы, то получим результирующий односторонний перенос массы в направлении убывания плотности.

Количество вещества которое диффундирует через площадку за время пропорционально и градиенту плотности:

где знак минус указывает, что диффузия происходит в направлении убывания плотности, коэффициент диффузии, зависящий от вещества газа (формы и размеров его молекул и т. п.).

Аналогичные законы можно написать и для других явлений переноса. Рассмотрим теплопроводность в газе, т. е. односторонний перенос теплоты через какую-нибудь площадку, обусловленный наличием разности температур по обе стороны этой площадки. Допустим, что на том же рис. 11.21 есть изотермическая поверхность, проведенная через точки, в которых температура одинакова и равна а II есть такая же поверхность, проходящая через точки с температурами Тогда

есть градиент температуры, показывающий, как быстро изменяется температура газа в направлении нормали к изотермической поверхности. Теплопроводность в газе объясняется тем, что частицы, проходящие через площадку в одном направлении, переносят с собой большее количество энергии, чем частицы, движущиеся в обратном направлении. Очевидно, с той стороны, где температура газа выше и, следовательно, средняя кинетическая энергия молекул больше, молекулами газа будет перенесено большее количество теплоты, чем в обратном направлении. При этом предполагается, что числа частиц, ежесекундно проходящих через площадку в одном и обратном направлениях, равны. Результирующий перенос теплоты через площадку за время прямо пропорционален и градиенту температуры:

где коэффициент теплопроводности, зависящий от вещества газа; формула (2.68) выражает закон теплопроводности.

Рассмотрим теперь внутреннее трение, возникающее между соседними слоями газа при их относительном движении. Выделим два очень тонких слоя газа движущихся со скоростями и обозначим через расстояние между этцми слоями,

измеренное в направлении, перпендикулярном их скорости движения (рис. 11.22). По аналогии введем понятие градиента скорости

который показывает, как сильно изменяется скорость течения газа (т. е. скорость упорядоченного движения его молекул) в направлении, перпендикулярном этой скорости. Очевидно, молекулы газа, совершая кроме этого упорядоченного движения еще и беспорядочное тепловое движение, переходят из одного слоя в другой и обратно. Каждая молекула, имеющая массу при переходе из одного слоя в другой изменяет свой импульс на

Рис. 11.22

Умножив на число молекул, ежесекундно переходящих из одного слоя в другой, получим суммарное изменение импульса, происходящее в каждом слое в единицу времени; согласно второму закону механики, ежесекундное изменение импульса в системе есть приложенная к ней внешняя сила. Таким образом, перенос импульса от одного слоя к другому воспринимается как сила трения, действующая на данный слой со стороны соседних слоев. Эта сила пропорциональна площади и градиенту скорости (от площади зависит число молекул, ежесекундно поступающих и покидающих рассматриваемый слой, а от градиента скорости зависит изменение импульса каждой молекулы). Таким образом, закон внутреннего трения можно записать в виде

где коэффициент внутреннего трения, зависящий от вещества газа.

Введенные выше градиенты плотности, теплопроводности и скорости рассматривались как скалярные величины. Однако их удобнее определять как векторные величины; они ориентируются в направлении возрастания соответствующей физической величины. Поэтому, например, диффузия происходит в Направлении, противоположном вектору градиента плотности, и т. д.

У идеального газа коэффициенты диффузии, внутреннего трения и теплопроводности соответственно равны:

где X — средняя длина свободного пробега молекул от одного столкновения до другого; средняя арифметическая скорость молекул; плотность газа; удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Эти формулы получены на основе предположения, что молекулы переходят через площадку (рис. 11.23), испытав

последнее столкновение в среднем на расстоянии X от этой площадки, и переносят с собой массу, а также импульс и кинетическую энергию, которые они имеют на этом расстоянии.

Для расчета К — среднего расстояния, пробегаемого молекулой от одного столкновения до другого, найдем сначала среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой в единицу времени. Допустим, что молекулы газа можно рассматривать как шары, имеющие диаметр а и движущиеся со средней скоростью За время частица пройдет средний путь и столкнется со всеми молекулами, центры которых находятся в пределах объема цилиндра (рис. 11.24).

Рис. 11.23

Рис. 11.24

Действительно, если центр какой-нибудь молекулы лежит на поверхности этого цилиндра или ближе к его оси, то движущаяся молекула столкнется с ней; если же центр молекулы лежит за пределами указанного цилиндра, то столкновения не произойдет. Число столкновений, испытываемое молекулой за время будет, таким образом, равно числу молекул в объеме Однако точный расчет с учетом относительного движения всех молекул газа дает поправочный множитель, равный Тогда число столкновений в единицу времени число частиц в единице объема)

а длина свободного пробега равна отношению среднего пути, проходимого молекулой за единицу времени к числу испытываемых за это время столкновений:

Коэффициенты теплопроводности и внутреннего трения для каждого газа зависят только от его температуры, но не зависят от плотности газа. Действительно, произведение есть для данного газа постоянная величина, поэтому коэффициенты теплопроводности и внутреннего трения зависят только от средней скорости теплового движения, т. е. от температуры.

В изолированном газе выравнивание температуры, давления и плотности (или числа молекул в единице объема происходит благодаря столкновениям между молекулами, число которых в единицу

времени, согласно формуле (2.72), будет при этом выравнивании изменяться. Однако процесс выравнивания, т. е. переход газа из неравновесного состояния в равновесное, сопровождается также увеличением энтропии. Вследствие этого должна существовать связь между энтропией газа и ежесекундным числом столкновений между его молекулами.

Перепишем формулу (2.72) с учетом значения средней арифметической скорости (см. равенство (2.16), в виде

где — величина, учитывающая размеры и массу молекулы газа. Из выражения (2.74) для двух различных состояний газа следует, что

Воспользуемся теперь выражением (2.54) для изменения энтропии газа, в котором заменим отношение объемов на отношение чисел столкновений; получим

где зависит от числа степеней свободы молекул данного газа; в частности, для одноатомного газа

Формула (2.76) связывает изменение энтропии идеального газа с изменением числа столкновений между его молекулами в единицу времени).

В частности, если переход идеального газа в равновесное состояние происходит при постоянной температуре, то увеличение энтропии сопровождается уменьшением ежесекундного числа столкновений между молекулами этого газа.

Формула (2.76) показывает также, что удельная энтропия одной молекулы может быть выражена через число столкновений, которое данная молекула испытывает в единицу времени. Это число зависит от массы, формы и размеров данной молекулы и при данных условиях будет различным для различных молекул.