§ 10. ИЗОПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ; ТЕПЛОЕМКОСТИ ГАЗОВ

Согласно первому закону термодинамики, если газ при переходе из одного состояния в другое получает извне (или отдает в окружающую среду) энергию в виде теплоты и при этом совершается положительная (или отрицательная) внешняя работа то

а для бесконечно близких состояний

Изменение внутренней энергии идеального газа можно рассчитать на основании формулы (1.9). Обычно полагают, что молекулы идеального газа обладают только энергией поступательного и вращательного движений (энергией колебательного движения обладают молекулы реальных газов, жидкостей и твердых тел). Доказано, что в равновесном состоянии газа поступательные и вращательные степени свободы являются равноценными, т. е. на каждую из этих степеней свободы в среднем приходится одна и та же энергия тогда молекула идеального газа, обладающая степенями свободы, имеет среднюю энергию а энергия молекул будет равна

Следовательно,

Для одноатомного газа для двухатомного для молекул, состоящих из трех атомов и более, Существенно, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и при данной температуре не зависит от объема и давления газа. Эта энергия прямо пропорциональна массе газа (или числу молекул в газе), числу степеней свободы каждой молекулы и абсолютной температуре газа. При переходе из одного состояния в другое внутренняя энергия идеального газа изменяется только в том случае, если при этом переходе изменяется температура газа.

Внешняя работа, совершаемая газом, рассчитывается на основании общих формул (1.16) и (1.17):

Напомним, что эта работа в зависимости от знака изменения объема может быть положительной (при расширении газа) или отрицательной (при сжатии газа, когда положительную работу совершают внешние силы, сжимающие газ). Для подстановки в формулу (2.18) работа должна быть измерена в тех же единицах (например, в джоулях), в которых измеряются количество теплоты и внутренняя энергия.

Теплообмен между газом и окружающей средой можно рассчитывать по той же формуле, по которой определяется количество теплоты, необходимое для нагревания (или отнимаемое при охлаждении) твердых и жидких веществ:

Однако измерения показали, что удельная теплоемкость для данного вещества не есть постоянная величина, а заметно зависит от того, как протекает самый процесс нагревания или охлаждения. Например, при постоянном объеме теплоемкость одноатомного газа почти на 70% меньше, чем при постоянном давлении; для двухатомного газа эти теплоемкости отличаются на 40%. Более того, можно сообщить газу теплоту и одновременно изменять его объем так, чтобы газ всю получаемую извне теплоту целиком расходовал на внешнюю работу и температура газа оставалась постоянной; тогда формула (2.23) вообще теряет смысл Таким образом, если формула (2.23) применяется к газам, то удельная теплоемкость зависит не только от вещества газа, но и от условий нагревания — насколько изменяется объем газа при сообщении или отнятии от него теплоты. Впрочем, зависимость удельной теплоемкости от изменения объема существует и для жидких и твердых тел, однако эта зависимость (ввиду малого изменения объема таких тел при нагревании) слабая и в приближенных технических расчетах не принимается во внимание.

Подставим в уравнение (2.18) первого закона термодинамики указанные выше выражения (2.20) и (2.23) для внутренней энергии и для теплообмена; тогда

Так как — постоянная величина, то удельная теплоемкость идеального газа зависит от величины совершаемой газом внешней работы Рассмотрим два простейших, но важных способа нагревания газа. Допустим, газу сообщается теплота при постоянном объеме; тогда газ работы не совершает и вся сообщаемая теплота целиком идет на изменение внутренней энергии газа, т. е. на его нагревание. Из формулы (2.24) получаем

где индекс V показывает, что сообщение или отнятие теплоты происходит при постоянном объеме. Произведение удельной теплоемкости газа

на массу одного моля называется молярной теплоемкостью: Для идеального газа при постоянном объеме молярная теплоемкость равна

и одинакова для всех газов, имеющих одинаковое число степеней свободы молекул; удельная же теплоемкость обратно пропорциональна массе одного моля газа.

Допустим теперь, что газу сообщается теплота, но при этом его давление поддерживается постоянным. Тогда газ должен расширяться и будет совершать положительную внешнюю работу

(здесь мы воспользовались уравнением состояния идеального газа чтобы выразить совершаемую газом внешнюю работу через изменение температуры газа). Подставим это выражение для работы в формулу (2.24) и снабдим удельную теплоемкость при постоянном давлении индексом

Тогда мольная теплоемкость при постоянном давлении

Таким образом, теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и давлении зависят только от числа степеней свободы молекул; для всех газов, молекулы которых имеют одинаковое число степеней свободы, молярные теплоемкости одинаковы, но их удельные теплоемкости различны, так как они обратно пропорциональны молекулярной массе

Сравнивая выражение для теплоемкостей идеального газа при постоянном объеме и давлении, получим:

Мы нашли два значения теплоемкости идеального газа, соответствующие двум различным условиям нагревания: при постоянном объеме и при постоянном давлении. Однако можно сообщить или отнимать теплоту и при других условиях нагревания; таких условий может быть бесконечное множество; среди них следует выделить еще два «крайних» случая;

1) допустим, что газ получает теплоту и одновременно совершает внешнюю работу, численно равную тогда изменение внутренней энергии газа равно нулю, следовательно, температура газа остается постоянной. Применяя к этому процессу формулу (2.23), получим для теплоемкости газа бесконечно большое значение:

Таким образом, при изотермическом сообщении или отнятии теплоты газ ведет себя как вещество, обладающее бесконечно большой теплоемкостью;

2) допустим, что теплообмен между газом и окружающей средой чрезвычайно мал (близок к нулю), но путем сильного сжатия или расширения вызывается очень большое изменение температуры. Применяя к такому процессу формулу (2.23), получим для теплоемкости газа очень малые значения. В пределе, когда т. е. при адиабатическом изменении температуры, газ ведет себя как вещество, обладающее нулевой теплоемкостью.

Таким образом, применяя формулу (2.23) или (2.24) для вычисления теплоемкости газа при всех условиях, когда газу сообщается или от него отнимается теплота, мы получаем для этой теплоемкости все возможные значения от нуля до бесконечности. Среди этих значений теплоемкости особо важную роль в термодинамике играют В частности, пользуясь формулой (2.26), можно выразить внутреннюю энергию идеального газа через

Рассмотрим теперь простейшие газовые процессы. Для того чтобы можно было использовать уравнение состояния идеального газа (применимое только для равновесных состояний), предположим, что все рассматриваемые процессы протекают достаточно медленно, поэтому в каждом из промежуточных состояний давление, плотность и температура одинаковы в пределах всего объема.

Отложим по оси абсцисс объем, а по оси ординат — давление газа. В этой координатной системе каждая точка 1 или 2 соответствует определенному равновесному состоянию газа, так как по данным двум параметрам состояния известной массе газа и массе одного моля можно по уравнению состояния рассчитать третий неизвестный параметр — температуру Вследствие этого любая линия, например 1—2 (рис. 11.14), изображает некоторый равновесный процесс изменения состояния идеального газа, а площадь 1—2—3—4—1 — внешнюю работу, совершаемую при этом процессе. Для характеристики каждого из таких процессов необходимо знать уравнение процесса, связывающее параметры состояния газа (или уравнение кривой, изображающей этот процесс в выбранной координатной системе), и, кроме того, вычислить следующие величины: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) теплообмен с окружающей средой и 3) совершаемую газом

внешнюю работу. Найдем эти величины для простейших процессов, полагая, что они протекают равновесно.

I. Изохорический процесс, при котором объем газа в течение всего процесса сохраняется постоянным (рис. 11.15):

а) уравнение процесса можно получить, использовав уравнение состояния идеального газа: для начального состояния для конечного состояния Разделив их почленно, получим:

т. е. при изохорическом процессе давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре;

Рис. 11.14

Рис. 11.15

б) изменение внутренней энергии газа можно рассчитать по формуле

Заметим, что эта формула применима для всех без исключения процессов, так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и изменяется прямо пропорционально температуре;

в) внешняя работа равна нулю, так как

г) теплообмен с окружающей средой

Согласно первому закону термодинамики,

поэтому, если газ получает теплоту, то его температура, а по формуле (2.31) также и давление повышаются; если газ отдает теплоту, то температура и давление понижаются. На рис. 11.15 горизонтальными стрелками условно показан теплообмен и его знак.

И. Изобарический процесс, при котором давление газа в течение всего процесса поддерживается постоянным (рис. 11.16):

а) уравнение процесса можно получить, опять-таки использовав уравнение состояния:

т. е. при изобарическом процессе объем газа прямо пропорционален его абсолютной температуре; большим объемам соответствуют высокие температуры;

б) изменение внутренней энергии газа рассчитывается по той же общей формуле (2.32). Следует иметь в виду, что в этой формуле молярная теплоемкость при постоянном объеме является просто постоянной величиной, заменяющей

Рис. 11.16

в) внешняя работа может быть рассчитана аналитически по формуле (2.22):

или же графически, как площадь Воспользовавшись уравнениями состояния, приведенными выше, можно заменить на и выразить внешнюю работу в зависимости от изменения температуры газа:

г) теплообмен с окружающей средой рассчитывается по формуле

где удельная, а молярная теплоемкости при постоянном давлении. Применение первого закона термодинамики к изобарическому процессу дает уже полученное выше соотношение между теплоемкостями при постоянном объеме и постоянном давлении:

Это соотношение называется уравнением Р. Майера.

III. Изотермический процесс, при котором температура газа в течение всего процесса поддерживается постоянной:

а) уравнение процесса можно на основании уравнения состояния представить в следующем виде:

т. е. при изотермическом процессе давление газа изменяется обратно пропорционально его объему. Графически такой процесс изобразится гиперболой, показанной на рис. 11.17;

б) изменение внутренней энергии, очевидно, равно нулю

Рис. 11.17

в) внешняя работа (площадь 1—2—3—4—1) может быть рассчитана следующим образом:

(при вычислении была произведена замена: этой формуле при необходимости можно заменить на или а отношение на так что можно, например, написать:

г) теплообмен между газом и окружающей средой не может быть найден по формулам, аналогичным (2.33) или (2.37), так как Этот теплообмен должен рассчитываться на основании первого закона термодинамики:

т. е. при изотермическом процессе, совершаемом идеальным газом, теплообмен между этим газом и окружающей средой по величине и знаку равен внешней работе. При расширении логарифм отношения есть положительная величина, следовательно, газ совершает положительную работу и при этом получает извне эквивалентное количество теплоты. При сжатии, наоборот, совершается отрицательная работа, и чтобы газ, сжимаемый внешними силами, не нагревался, от него отнимается теплота, эквивалентная этой работе. Следует предупредить, что для других веществ (реальных газов, жидких и твердых тел), у которых зависимость внутренней энергии от температуры более сложная, чем в выражении (2.20), последние два соотношения в формулах (2.42) неприменимы.

IV. Адиабатический процесс, при котором теплообмен между газом и окружающей средой отсутствует, уравнение адиабатического процесса получим, воспользовавшись первым законом термодинамики в дифференциальном виде:

Имеем:

Следовательно,

Из этого выражения получается следующее соотношение между объемом и температурой газа:

или

В полученной формуле можно произвести замену, воспользовавшись соотношением и обозначением

Тогда окончательно уравнение адиабатического процесса примет вид

Из первой формулы можно исключить температуру, воспользовавшись уравнением состояния: умножим левую часть на а правую — на и внесем в постоянную. После сокращений (температуры) получим:

Формулы (2.43) и (2.44), связывающие параметры идеального газа при равновесном адиабатическом процессе, называются уравнениями Пуассона. Отношение называется показателем адиабатического процесса; значение у, согласно формуле (2.29), зависит от числа степеней свободы молекул. Для одноатомного газа ; для двухатомного газа ; для трехатомного газа

Графически адиабатический процесс, совершаемый идеальным газом, изображается кривой, падающей круче, чем кривая изотермического процесса (рис. 11.18). Об этом уже было сказано в § 6 ч. II;

напомним, что при изотермическом процессе подводимая теплота частично компенсирует падение давления, тогда как при адиабатическом процессе подвода теплоты нет, температура газа понижается и давление падает быстрее;

б) изменение внутренней энергии подсчитывается по общей формуле (2.32), если известны начальная и конечная температуры газа. Это изменение можно также определить из первого закона термодинамики, если известна внешняя работа, совершаемая газом: т. е. при адиабатическом процессе газ совершает внешнюю работу за счет изменения своей внутренней энергии;

Рис. 11.18

в) внешняя работа при адиабатическом процессе может быть вычислена непосредственно путем интегрирования общего выражения для внешней работы с использованием уравнения процесса (2.44) или же, проще, на основании первого закона термодинамики (2.18) и уравнения состояния:

Так как то внешняя работа при равновесном адиабатическом процессе равна

Адиабатическими являются процессы сжатия и расширения газа при распространении в нем звуковой волны. Формула (5.12), выведенная в § 22 ч. I,

показывает, что скорость звука зависит от отношения давления к плотности газа, а также от постоянной величины у, значение которой определяется характером процессов сжатия и расширения. Если бы эти процессы были изотермическими, то у должно было бы равняться единице, если же адиабатическими, то Измерения показали, что у равно показателю адиабатического процесса того газа, в котором распространяется звуковая волна.

Если воспользоваться уравнением состояния идеального газа (2.10) и заменить на или то формула для скорости распространения звука в газе примет вид

Для данного газа скорость звука зависит только от температуры. Поэтому отношение скорости звука к средней квадратичной скорости

теплового движения молекул (см. формулу (2.16)) зависит только от показателя адиабатического процесса:

Адиабатический характер процессов сжатия и расширения газа при распространении звука объясняется тем, что эти процессы происходят весьма быстро и поэтому теплообмен между элементами газа (нагревшимися при сжатии и охладившимися при расширении) практически отсутствует. Однако следует отметить и другую особенность адиабатических процессов в газах. Рассмотрим формулу (уравнений политропы)

где число, которое может принимать всевозможные значения от нуля до бесконечности. При эта формула описывает изобарический, при изотермический, при адиабатический процесс. Для любого процесса, совершаемого идеальным газом, можно подобрать соответствующее значение показателя «Простыми» процессами будут те, для которых является постоянным числом; у более сложных процессов будет функцией объема (или давления).

Пользуясь этой формулой, найдем связь между изменениями давления и удельного объема в звуковой волне:

При адиабатическом процессе изменение удельного объема при данном оказывается меньше, чем при изотермическом Если разделить на половину периода колебаний (когда происходит только сжатие или только расширение газа), то можно найти среднюю скорость изменения удельного объема газа. Эта скорость у адиабатического процесса меньше, чем у изотермического; в этом смысле адиабатический процесс будет более медленным, чем изотермический, и поэтому более близким к равновесному.