§ 23. ФОРМУЛА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
При описании волнового процесса требуется найти амплитуды и фазы колебательного движения в различных, точках среды и изменение этих величин с течением времени. Эта задача может быть решена, если известно, по какому закону колеблется и как взаимодействует со средой тело, вызвавшее волновой процесс. Однако во многих случаях не существенно, каким телом возбуждена данная волна; решается более простая задача: дано состояние колебательного движения в одних точках среды в определенный момент времени, например известно расположение фронта волны или волновой поверхности; требуется определить состояние колебательного движения в других точках среды. Эта задача будет рассматриваться в § 25. Здесь же мы найдем связь между состояниями колебательного движения в различных точках среды в простейшем случае, когда в этой среде распространяется плоская или сферическая синусоидальная волна.
ВЫВОД ФОРМУЛЫ ВОЛНЫ
Допустим, что волновой процесс распространяется в положительном направлении оси 
т. е. в сторону возрастания координаты х (рис. 1.55). Обозначим через у колеблющуюся величину; этой величиной могут быть: смещение частиц среды относительно их положения равновесия; отклонение давления или плотности в данном месте среды от равновесного значения и т. д.
Рис. 1.55
Для простоты рассуждений предположим, что распространяющаяся волна — синусоидальная, т. е. в каждой точке среды величина у изменяется со временем по гармоническому закону. Допустим, что начало отсчета времени выбрано так, что в точке О при 
т. е. 
тогда
где со 
угловая частота; 
период; 
амплитуда колебаний; 
аргумент синуса (определяющий значение колеблющейся величины в каждый заданный момент времени) — фаза
колебаний в точке О. Требуется найти фазу колебаний в любой другой точке А, отстоящей от О на расстоянии х.
Так как точка А расположена относительно О в направлении распространения волны, то в данный момент времени 
в этой точке будет такое состояние колебательного движения, какое было в точке О на 
секунд раньше; здесь 
есть скорость распространения фазы колебаний в направлении 
Таким образом, фаза колебаний в точке А в момент 
равна фазе колебаний в точке О в более ранний момент 
т. е. равна со 
Следовательно, значение колеблющейся величины в точке А в момент времени 
Мы получили формулу (уравнение) синусоидальной волны, величина 
называется фазовой скоростью волны.
Допустим теперь, что волна распространяется в обратном направлении, т. е. от 
, в сторону убывания координаты х. Тогда определенное состояние колебания, т. е. определенная фаза волны, достигает точки А на 
секунд раньше, чем точки О, следовательно, фаза в точке А в данный момент времени больше фазы в точке О на сот 
Если по-прежнему принять фазу в точке О в момент 
равной 
то в точке А в этот же момент времени фаза будет равна 
сот 
Таким образом, фюрмулу Синусоидальной волны можно написать в общем виде:
где знак минус берется для волны, распространяющейся в направлении возрастания х, а плюс — в обратном направлении.
При выводе формулы (5.3) предполагалось, что амплитуда колебаний 
по мере распространения волны не изменяется и среда однородна (т. е. скорость распространения фазы колебаний везде одинаковая). Эти два предположения означают, что мы рассматривали плоскую волну. У сферической волны амплитуда колебаний уменьшается обратно пропорционально расстоянию и формула волны имеет вид
Расстояние 
пройденное волной (т. е. определенной фазой колебаний) за один период колебаний, называется длиной волны; очевидно,
В формуле волны (5.3) колеблющаяся величина зависит от двух переменных: 
Если найти производную от у по времени, пблагая х постоянной, то эта частная производная
показывает скорость изменения колеблющейся величины в данной точке среды. Производная же от у по х при постоянном 
есть разность значений колеблющейся величины, рассчитанная на единицу расстояния между точками среды 
т. е. показывает, как увеличивается или уменьшается у вдоль оси 
(в данный момент времени t).
Найдем частные производные от колеблющейся величины у по времени при постоянном 
Если у есть смещение частиц среды при колебаниях, то 
и а будут скоростью и ускорением этих частиц при их колебательном движении в точке с координатой х. Амплитудные значения этих величин связаны между собой:
Частные производные от у по х при постоянном 
будут равны:
Следовательно,
Это есть дифференциальное уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся по оси 
Оно получено нами из формулы волны (5.3). Однако можно сделать и обратное заключение: если какая-нибудь физическая величина 
зависит от времени и координат так, что ее частные производные удовлетворяют уравнению (5.6), то величина у распространяется в среде в виде плоской волны (см. уравнение (5.3)) со скоростью
и частотой колебаний
Дифференциальное уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси 
можно записать не только в виде (5.6), содержащем вторые производные по координате и времени, но и в виде
связи между этими производными и самой колеблющейся величиной:
Второе уравнение явно не содержит времени; если произвести замену 
(длина волны), то
