Глава 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

§ 8. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ. СРЕДНИЕ СКОРОСТИ МОЛЕКУЛ

Газообразное состояние вещества характеризуется тем, что мельчайшие частицы вещества — атомы или молекулы — большую часть времени пребывают сравнительно далеко друг от друга. Силы взаимодействия между ними оказывают свое действие только в течение весьма коротких промежутков времени, когда частицы газа сталкиваются между собой. Поэтому действие молекулярных сил выражается только в обмене энергиями при столкновениях. Чем меньше плотность газа, тем больше свободный пробег его молекул и, следовательно, тем меньше влияния оказывают молекулярные силы на общее поведение газа при тех или иных изменениях его состояния.

Вследствие этого при изучении свойств разреженных газов можно пренебрегать действием молекулярных сил; так как размеры молекул очень малы, то можно пренебрегать также и собственным объемом частиц газа по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ. Таким образом, мы приходим к представлению об идеальном газе, теория которого оказывается очень простой. Теоретически обосновав свойства идеального газа, можно затем перейти к теории реальных газов, внеся поправки, учитывающие действие молекулярных сил и влияние собственного объема частиц газа.

Идеальным газом называется газ, который удовлетворяет следующим условиям:

1) собственный объем частиц (молекул или атомов) газа очень мал по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ;

2) силы взаимодействия между частицами идеального газа отсутствуют (или настолько слабы, что ими можно пренебрегать);

3) столкновения частиц газа между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими ударами.

Иногда в связи с первым предположением считают, что частицы идеального газа есть «материальные точки». Тогда для возможности обмена энергиями между точечными телами нельзя игнорировать действие молекулярных сил (вероятность столкновения между невзаимодействующими материальными точками равна нулю). Однако если допустить, что частицы идеального газа есть шарики очень малых, но конечных размеров, то вероятность столкновения между ними будет отлична от нуля и при отсутствии сил взаимодействия; в этом случае столкновения можно рассматривать как простые механические удары упругих тел.

Частицы газа могут иметь различные скорости; иногда для упрощения рассуждений предполагают, что частицы газа имеют одинаковые скорости. Направления скоростей частиц ориентированы в пространстве совершенно беспорядочно; это означает, что число частиц, движущихся в одном направлении, равно числу частиц, движущихся в противоположном, а также и в любом другом направлении. Таким образом, к указанным выше трем предположениям необходимо добавить четвертое:

4) частицы идеального газа совершают беспорядочное тепловое движение.

Рис. 11.11

Выведем теперь «основное уравнение кинетической теории газов», связывающее давление газа со скоростями движения его частиц. При беспорядочном движении частицы газа сталкиваются между собой и со стенками сосуда. Механическое действие этих ударов о стенки сосуда воспринимается как давление на эти стенки. Рассчитаем это давление, пользуясь сделанными выше предположениями. Выделим на стенке сосуда (рис. 11.11) некоторую элементарную площадку и найдем давление, оказываемое на эту площадку. Обозначим через некоторую среднюю скорость частиц, полное число частиц газа, V — объем газа (сосуда), число частиц в единице объема

Построим на площадке цилиндр с высотой и объемом где некоторый малый промежуток времени должно быть значительно больше среднего времени свободного пробега частицы от одного столкновения до другого). Число частиц в этом объеме равно из них за время некоторая часть дойдет до и ударится об нее. При каждом ударе одной частицы на площадке произойдет некоторое изменение импульса; нам необходимо рассчитать суммарное изменение импульса всех частиц, которые за единицу времени ударились и отскочили от площадки и приравнять эту величину силе, действующей на площадку Расчет несколько усложняется

тем, что частицы движутся к площадке под различными углами и имеют различные скорости. Однако можно получить правильный результат, если для упрощения рассуждений и расчетов заменить беспорядочное движение частиц следующим: допустим, что движение частиц происходит по трем взаимно перпендикулярным направлениям, так что одна шестая часть движется перпендикулярно площадке, одна шестая — в противоположном направлении, а остальные частицы движутся по четырем остальным направлениям параллельно площадке Таким образом, за время число ударов частиц, двигающихся перпендикулярно стенке, о площадку будет равно — При каждом (абсолютно упругом) ударе частицы о стенку импульс этой частицы изменяется на где масса частицы. Действительно, на первой стадии удара, когда летящая к стенке частица останавливается, она полностью теряет свой импульс направленный к стенке. Во второй стадии удара, когда частица отбрасывается обратно, она получает импульс направленный в обратную сторону. Таким образом, полное (суммарное) изменение импульса одной частицы будет равно За время А на площадке изменяют направление своего движения частиц; общее изменение импульса частиц газа на этой площадке равно

Согласно второму закону Ньютона, это изменение должно быть вызвано силой, приложенной со стороны стенки к частицам газа. Так как сила, действующая на систему, равна изменению импульса этой системы в единицу времени, то площадка должна действовать на газ с силой

Тогда давление на газ, т. е. внешняя сила, действующая на газ со стороны единичной площадки, равна т. е.

На основании третьего закона Ньютона, действующего в процессе столкновений между частицами и стенкой, можно утверждать, что эта формула выражает также давление газа на поверхность стенки.

Формула (2.1) называется основным уравнением кинетической теории газов. Можно заменить на и тогда

Мы предполагали, что скорости молекул одинаковы; если же в газе имеется молекул со скоростью со скоростью то

где

с называется средней квадратичной скоростью молекул газа; она отличается от средней арифметической скорости :