РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ

При движении вязкой жидкости по трубам малого диаметра (когда течение ламинарное, например в капиллярах) скорость течения различна в различных местах сечения трубки. Возле стенок вследствие прилипания жидкости эта скорость равна нулю; вдоль оси трубки она имеет максимальное значение На рис. 1.75 показано распределение скоростей по диаметру трубки. Для нахождения этого распределения рассмотрим элементарный полый цилиндр малой толщины выделенный в текущей жидкости. Силы вязкости действующие по внутренней и наружной поверхностям этого цилиндра, согласно формуле (6.7), равны:

Рис. 1.75

Сила направлена по течению, так как жидкость, движущаяся внутри цилиндра, имеет большую скорость. Сила же направлена против течения, так как рассматриваемый цилиндр движется быстрее, чем соприкасающиеся с ним слои жидкости, расположенные ближе к стенкам трубки. Разность этих сил направлена против течения и должна преодолеваться теми внешними силами, которые вызывают движение жидкости. Для расчета предварительно найдем связь между градиентами скорости на наружной и внутренней поверхности цилиндра:

Поэтому

Если давления жидкости в сечениях равны то разность «внешних» сил, действующих на рассматриваемый цилиндр,

При установившемся течении жидкости по трубке силы должны быть равны; в противном случае рассматриваемый цилиндр перемещается либо ускоренно, либо замедленно. Приравнивая эти силы, получаем дифференциальное уравнение

Это уравнение имеет решение (с учетом того, что у стенок трубки , а вдоль оси ) в виде

т. е. распределение скоростей течения вязкой жидкости в трубке малого радиуса является параболическим. При этом максимальная скорость течения (вдоль оси трубки) получается равной

где перепад давления, приходящийся на единицу длины трубки; если течение жидкости вызвано силой тяжести, то и тогда

Жидкость, содержащаяся в объеме рассматриваемого цилиндра, пройдет через сечение В за время следовательно, ежесекундный расход, приходящийся на долю этого цилиндра, будет равен

Общий расход жидкости через сечение трубки в единицу времени

Рассчитаем полную работу сил рязкости за единицу времени на единичной длине трубки. Обозначим эту величину через За время рассматриваемый цилиндр сместится вниз на расстояние и разность сил действующих вдоль внутренней и наружной поверхности цилиндра, совершит работу

Тогда

Так как есть скорость движения цилиндра, то, учитывая выражения (6.10) и (6.11) и интегрируя от до получим

Это есть ежесекундное количество механической энергии текущей жидкости, которое превращается в теплоту на единице длины трубки. Интересно отметить, что эта удельная мощность диссипации для других распределений скоростей по сечению, отличных от выражения имеет большее значение, чем для параболического. Так как распределение скоростей по формуле (6.10) соответствует установившемуся (стационарному) течению жидкости, то можно утверждать, что при всяком отклонении от стационарности удельная мощность диссипации будет возрастать. В гидродинамике доказано, что это правило соблюдается и для других, более сложных видов течения вязких жидкостей. Оно является частным случаем более общего закона, согласно которому при переходе от неравновесных (нестационарных) состояний к равновесному (установившемуся) общая мощность диссипации энергии в системе стремится к минимальному значению.