ВОЛНА В УПРУГОЙ СРЕДЕ

При распространении в среде упругих (в частности, звуковых) колебаний частицы среды совершают колебательное движение относительно своих положений равновесия. Можно было бы описывать волновое движение, учитывая только смещения и скорости частиц среды. Однако при наличии беспорядочного теплового движения частиц пользоваться таким описанием неудобно. Поэтому принято упругую (в частности, звуковую) волну характеризовать периодическими изменениями давления и плотности, которые происходят при последовательных сжатиях и растяжениях (расширениях) среды. Обозначим, например, давление и плотность воздуха в равновесном состоянии через а их мгновенные значения в данном месте — через Тогда для описания звуковой волны в воздухе можно интересоваться периодическими изменениями избыточного давления или избыточной плотности

Рис. 1.56

Выясним, при каких условиях в упругих средах возможны гармонические волны вида (5.3). Выделим перпендикулярно некоторую площадку (рис. 1.56) и слой малой толщины Допустим, что в положении избыточное давление слева равно а справа следовательно, на выделенный элемент среды будет действовать результирующая сила Масса этого элемента где средняя плотность среды в объеме элемента. Тогда, согласно второму закону механики, рассматриваемый элемент среды будет иметь ускорение

(знак минус означает., что если избыточное давление в положительном направлении возрастает, то сила и ускорение а будут направлены в обратную сторону).

Обозначим смещение частиц среды в направлении распространения упругой волны через у. Так как смещение у зависит от двух переменных: времени и координаты, то ускорение элемента запишем в виде частной производной тогда

Исследуем правую часть этой формулы. Если бы все частицы среды, находящиеся в рассматриваемом элементе, имели одинаковое смещение у, то объем элемента, следовательно, и давление и плотность внутри него оставались бы постоянными. В этом случае правая часть уравнения (5.9) будет равна нулю и упругой волны в среде не будет. Поэтому необходимо допустить, что при переходе из положения I в II одна грань рассматриваемого элемента среды смещается на у, а другая — на При таком перемещении объем элемента изменится, вследствие чего давление станет функцией от координаты х и правая часть уравнения (5.9) будет отлична от нуля.

Однако в формуле (5.9) имеются две переменные величины если исключить одну из них, например давление то получим дифференциальное уравнение для смещения элементов среды от положения равновесия. Для этой цели сначала учтем, что величину А у следует полагать пропорциональной толщине элемента среды

где показывает, какое изменение смещения у приходится на единицу длины вдоль оси

Тогда относительное изменение объема элемента будет равно

Масса среды в объеме элемента не изменяется, поэтому относительное увеличение плотности будет равно относительному уменьшению объема элемента, т. е.

Теперь для того чтобы рассчитать изменение избыточного давления внутри элемента, необходимо знать зависимость от или .

Если среда — твердое тело, то при малых деформациях можно воспользоваться законом Гука Для плоской волны относительное удлинение или сжатие элемента объема будет совпадать с относительнымизменением его объема; напряжение сжатия или растяжения можно полагать равным среднему значению внутри элемента, причем увеличение сопровождается уменьшением объема элемента, «поэтому

Подставив последнее соотношение в формулу (5.9) получим дифференциальное уравнение плоской волны, распространяющейся в твердых телах:

Сравнивая уравнения (5.10) и (5.6), замечаем, что величину следует отождествить с квадратом скорости распространения волны, поэтому сама скорость волны оказывается равной

Для железа В газах процессы сжатия и расширения описываются уравнением

(см. § 10), где давление; V — удельный объем газа, некоторая постоянная величина, зависящая от того, как происходят процессы сжатия и расширения. Из этого уравнения следует

Если избыточное давление мало по сравнению с давлением газа то

Подставив это выражение для в формулу (5.9), вновь получим дифференциальное уравнение (5.6) плоской волны, причем скорость распространения оказывается равной (полагая

Дифференциальное уравнение плоской волны и формулы (5.11) и (5.12) для скоростей распространения получены при предположении, что избыточные давления и плотности малы. Найдем изменение этих величин со временем; для любой среды, полагая получим для плотности

где через обозначена амплитуда колебаний плотности среды в волне:

Для колебаний давления также получаются формулы, одинаковые Для всех сред:

Таким образом, пропорциональны не смещениям частиц среды у, а их скоростям и. Из этих уравнений можно получить общее выражение для скорости распространения плоской волны в упругой среде: