УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
Выведем уравнение плоской электромагнитной волны, воспользовавшись уравнениями Максвелла (см. формулу (3.80)):
Напомним, что при расчете контурных интегралов направление обхода и направления векторов 
должны удовлетворять правилу правого винта.
Для упрощения рассуждений допустим, что в том месте, где возбуждается электромагнитное поле, вектор 
все время остается параллельным координатной оси 
а вектор 
оси 
Так как уравнения (4.17) применимы для контуров любой формы, размеров и ориентировки в поле, то для использования первого из них выберем элементарный контур 
лежащий в плоскости 
а для второго — контур 
лежащий в плоскости 
(рис. II 1.88). Векторы 
являются функциями координат, поэтому их значения в различных местах указанных контуров будут различными. Например, если в точке О вектор 
имеет данное значение, то в точке а с координатой 
его значение будет равно 
где частная производная 
показывает быстроту изменения 
в направлении оси 
Рис. III.88
На рис. 111.88 указаны значения 
на концах элементарных участков.
Используем первое уравнение (4.17) для контура 
На участках 
и 
произведение 
будет равно нулю, так как вектор 
перпендикулярен 
Для участков 
и 
умножим гдлину каждого из этих участков 
на средние значения вектора 
в пределах этих участков; так как на участке 
вектор 
направлен против обхода, то получим:
где 
площадь, охватываемая контуром обхода. Здесь вместо 
написано 
так как для расчета потока вектора 
через площадку 
можно взять значение вектора 
в одной точке, например в центре этой площадки. После сокращений получаем
Аналогичный расчет для второго уравнения (4.17) и контура 
дает следующий результат:
Вычислим частные производные по времени от выражения (4.18) и по координате от выражения (4.19), полагая 
постоянными величинами:
Из этих уравнений следует
Мы получили дифференциальное уравнение волны. Этому уравнению удовлетворяет, в частности, простейшая, синусоидальная, волна
в которой вектор 
распространяется вдоль оси 
со скоростью
Аналогичными рассуждениями можно получить уравнение волны и для вектора 
соотношение между значениями 
в волне имеет
Следовательно, в каждой точке распространяющейся волны векторы 
пропорциональны друг другу. Кроме того, они перпендикулярны направлению распространения (оси 
ввиду чего электромагнитную волну называют поперечной волной. Исходя из уравнений (4.17), можно также доказать, что векторы 
в волне перпендикулярны друг другу.
