Часть I. МЕХАНИКА

Глава 1 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

§ 1. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА; ЛИНЕЙНЫЕ И УГЛОВЫЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ

Для описания движения тел необходимо предварительно выбрать систему отсчета, т. е. выбрать одно или несколько тел, которые условно полагаются неподвижными (тела отсчета), и связать с ними какую-нибудь координатную систему, например прямоугольную.

Рис. 1.1

В качестве тел отсчета можно выбрать каркас измерительной установки, стены лаборатории, поверхность Земли, неподвижные звезды.

В частности, для описания движений, происходящих на поверхности Земли, оси и прямоугольной координатной системы располагают в горизонтальной плоскости, а ось направляют по вертикали. Для учета кривизны поверхности Земли начало координатных осей помещают в центре Земли, а одну из этих осей совмещают с осью вращения Земли. Для описания движения космических объектов координатную систему связывают с определенными звездами, выделяющимися своей яркостью.

При движении тела каждая его точка описывает некоторую линию — траекторию. В прямоугольной системе координат (рис. 1.1) траектория точки определяется тремя функциями:

показывающими, как изменяются координаты этой точки с течением времени. Различные точки тела могут описывать различные по форме и размерам траектории. Наиболее простым образом будет описываться движение тел, которые имеют очень малые размеры и поэтому могут рассматриваться как точечные тела (или как материальные точки). Реальные тела могут быть представлены как системы из взаимосвязанных точечных тел; описание движения таких тел сводится к определению траекторий их отдельных точечных частей. Движение тела называется поступательным, если траектории всех точек тела одинаковы и поэтому любая прямая, проведенная в теле, смещается параллельно самой себе, и вращательным, если точки тела

описывают концентрические окружности. Сложное движение тела можно представить как сочетание поступательных и вращательных движений.

СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ

Допустим, что траектория движения точечного тела известна. Выберем на этой траектории некоторый отрезок пути внутри которого находится точка Этот отрезок будет пройден телом за время Нас интересует скорость, с которой тело проходит через точку Отношение

будет средней скоростью тела на участке При неравномерном движении эта скорость будет получаться различной в зависимости от выбираемых размеров Однако если участок траектории и, следовательно, промежуток времени будут достаточно малыми, то скорость тела не успеет измениться на заметную величину и движение тела на участке можно считать почти равномерным. Очевидно, что измеряемая скорость движения тела не будет зависеть от произвольного выбора размеров если эти размеры будут достаточно малыми. Ввиду этого предел отношения

называют скоростью тела в данный момент времени (взятый в пределах промежутка или скоростью тела в данной точке траектории (расположенной в пределах участка Эти скорости называют также мгновенными или истинными.

Рис. 1.2

Для криволинейной траектории любой формы бесконечно малый участок траектории можно полагать прямолинейным и представлять в виде вектора ориентированного по направлению движения. Тогда скорость тела

также будет вектором, ориентированным в том же направлении. Вектор можно представить как сумму трех векторов (рис. 1.2):

поэтому скорость тела может быть разложена на составляющие по координатным осям:

Если известны функции (1.1), определяющие траекторию движения тела, то проекции скорости на координатные оси будут равны:

а величина скорости

По этим данным можно вычислить также углы между вектором скорости и координатными осями:

Допустим, что скорости тела (по величине) в начальной и конечной точках некоторого отрезка траектории внутри которого находится точка а время прохождения этого отрезка. Нас интересует ускорение, с которым тело проходит через точку Отношение

будет средним ускорением на участке и в общем случае оно может получиться различным в зависимости от выбранных размеров Однако если эти размеры выбрать достаточно малыми (в пределе — бесконечно малыми), то результат измерения уже не будет зависеть от размеров или так как за малое время или на малом участке траектории ускорение не может измениться на заметную величину. Ввиду этого предел отношения

называют ускорением тела в данной точке траектории или в данный момент времени. Если при движении тела его скорость уменьшается, то изменение скорости а следовательно, и ускорение а будут отрицательными.

Так как изменение скорости вектор, то ускорение будет вектором, ориентированным по направлению (очевидно, что среднее ускорение не имеет смысла представлять в виде вектора, так как не только величина, но и направление может заметно измениться при выборе различных размеров . Следовательно, вектор ускорения в данной точке траектории (или в данный момент времени) должен определяться по вектору бесконечно малого изменения скорости:

Составляющие (проекции) этого вектора по координатным осям будут равны:

а полное ускорение

По этим данным можно вычислить углы образованные вектором ускорения и координатными осями:

В общем случае эти углы не будут совпадать с указанными выше углами между вектором скорости и координатными осями. Это означает, что направление вектора ускорения а, вообще говоря, не совпадает с направлением вектора скорости такое совпадение имеет место только при прямолинейном движении.

При постоянном ускорении расчетные формулы для скорости и пройденного пути имеют вид

где скорость в начальный момент времени Если ускорение движения вдоль траектории не остается постоянным, то можно разбить время движения на такие малые промежутки времени чтобы в течение каждого из них изменением ускорения можно было пренебречь. Обозначим ускорение тела для промежутка времени через тогда изменение скорости в течение этого времени будет равно Суммируя эти изменения за истекшее время можно написать:

Чем меньше промежутки времени А, тем точнее этот расчет. В пределе, когда эти промежутки выбираются бесконечно малыми, сумма заменяется интегралом:

Для вычисления этого интеграла необходимо знать функцию показывающую, как изменяется ускорение с течением времени. Если известно, как изменяется со временем скорость движения тела, т. е. задан вид функции то путь, пройденный телом за время можно рассчитать приближенно по формуле

или точно по формуле

При определении скорости по формуле путь пройденный телом, обычно берется по абсолютной величине, поэтому скорость движения получается всегда положительной величиной. Однако во многих случаях путь определяется как разность координат

движущегося тела в конечный и начальный моменты. Например, при движении тела вдоль оси

Тогда знак скорости движения будет зависеть от того, в каком направлении происходит перемещение тела. Если тело перемещается в направлении возрастания координаты х, то и скорость тела положительная. Если же тело движется в направлении убывания координаты х, то и скорость перемещения будет отрицательной.

В связи с этим знак ускорения определяется не только возрастанием или убыванием скорости по величине, но и знаком самой скорости. Например, если тело движется ускоренно в направлении убывания координаты то скорости будут отрицательными, а так как по величине то и ускорение а будет отрицательной величиной: Таким образом, если тело движется в направлении убывания координаты х, то возрастание скорости прбисходит при отрицательном ускорении а уменьшение скорости — при положительном ускорении.