ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ

Найдем связь между результатами измерений координат и времени, произведенных относительно двух инерциальных систем отсчета: Обозначим через координаты движущегося тела и время, измеренные относительно одной инерциальной системы отсчета координаты того же тела и время, измеренные относительно другой инерциальной системы отсчета Для простоты допустим, что оси и этих систем отсчета совпадают. Тогда координаты движущегося тела будут иметь относительно одинаковые значения Далее допустим, что начало координат О системы в начальный момент времени находилось в точке О системы и с течением времени перемещается со скоростью в положительном цаправлении оси Так как являются инерциальными системами отсчета, то, согласно принципу относительности, скорость должна быть постоянной.

За время расстояние между сделается равным На такую же величину будут отличаться координаты движущегося тела, т. е. . В механике Ньютона предполагается, что результат измерения времени не зависит от системы отсчета, поэтому Следовательно, соотношения между координатами движущейся точки и временем в имеют вид:

Эти соотношения называются преобразованиями Галилея.

Обозначим теперь скорости тела относительно через Дифференцируя (1.50) по времени, получим закон сложения скоростей в механикеу Ньютона

(в теории относительности Эйнштейна закон сложения скоростей имеет иной вид). Иногда, полагая «покоящейся» системой, называют абсолютной, и — относительной и переносной скоростью. Вторичное дифференцирование по времени (полагая переменной величиной) дает закон сложения ускорений

Рассмотрим теперь две другие системы отсчета, из которых одна — является инерциальной, а вторая вращается относительно с постоянной угловой скоростью со вокруг общей оси

Рис. 1.16

На рис. 1.16, а оси и обеих систем спроецированы в точку О, оси и не показаны, а пунктирные линии обозначают расположение оси относительно оси в различные моменты времени: Допустим, что изолированное тело движется вдоль оси с постоянной скоростью Описывая это движение относительно (т. е. полагая, что является «покоящейся» системой отсчета), мы заметим, что относительно тело движется с переменной скоростью описывая спиральную линию, небольшая часть которой изобраг жена на рис. 1.16, а. В каждый рассматриваемый момент времени (например, эта скорость состоит из радиальной составляющей численно всегда равной и нормальной составляющей изменяющейся по мере удаления тела от точки О. Таким образом, относительно тело будет двигаться с ускорением.

За малое время тело перейдет из точки А в точку В и составляющие его скорости в радиальном и нормальном направлениях изменятся на Радиальная скорость в системе (равная

скорости тела в системе по величине будет оставаться постоянной, но по направлению повернется на угол Вектор приращения радиальной скорости при малых углах можно считать перпендикулярным вектору численное значение будет равно Нормальная же скорость равная будет изменяться вследствие удаления тела от точки О, поэтому

По направлению будет также перпендикулярно радиус-вектору (рис. 1.16, б). Таким образом, тело, которое в инерциальной системе отсчета движется прямолинейно и равномерно со скоростью во вращающейся системе будет иметь ускорение, равное по величине

и перпендикулярное направлению Это ускорение называется кориолисовым в векторной записи

В общем случае, если система имеет относительно и поступательное и вращательное движения, связь между ускорением тела относительно (аабс) и будет иметь вид

Произведение кориолисова ускорения на массу движущегося тела

называется силой Кориолиса. Эта сила относится к силам инерции; она появляется при переходе от инерциальных систем отсчета к вращающимся относительно них системам отсчета и исчезает при обратном переходе.

Выше было предположено, что угол между векторами скорости тела и угловой скорости вращения системы равен Однако полученные векторные выражения для применимы и в более общем случае, когда между векторами и со существует любой угол Ускорение и сила Кориолиса пропорциональны радиальной скорости движения тела угловой скорости вращения системы отсчета относительно инерциальной системы и зависят от угла между направлениями векторов и

При эти величины достигают наименьшего (нулевого) и наибольшего значения. Заметим также, что сила Кориолиса не совершает работы, так как она направлена перпендикулярно скорости движения тела.

Действием силы Кориолиса объясняется ряд эффектов, наблюдающихся на поверхности Земли, например поворот плоскости колебаний маятника Фуко относительно Земли. В инерциальной системе отсчета,

связанной с неподвижными звездами, плоскость колебаний маятника остается неизменной, но относительно поверхности Земли ввиду ее вращения относительно своей оси ориентация этой плоскости с течением времени регулярно изменяется. Полагая Землю «покоящейся» системой отсчета и исходя из требования, что «всякое ускорение вызывается силой», мы будем вынуждены для объяснения этого эффекта допустить, что на маятник действует особая сила, направленная перпендикулярно скорости движения тела и равная по величине