§ 16. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ТЕЛА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Допустим, что смещение колеблющегося тела относительно положения равновесия, причем начало отсчета времени выбрано так, чтобы Тело совершает гармоническое колебание, если

причем и со должны быть постоянными величинами. Скорость тела найдем как производную от х по времени:

где максимальное значение (т. е. амплитуда) скорости. Формула (4.3) показывает, что скорость тела, так же как и смещение, изменяется со временем по гармоническому закону с той же частотой , но имеет фазу, отличающуюся от фазы смещения на в моменты времени, когда смещение х равно нулю, скорость тела приобретает наибольшие значения.

Так как скорость тела при гармоническом колебании непрерывно изменяется, то это движение является ускоренным; при этом величина ускорения изменяется со временем также по гармоническому закону:

где максимальное (амплитудное) значение ускорения. Фаза ускорения отличается от фазы смещения на , а от фазы скорости — на Заменив в выражении на можно переписать формулу ускорения в виде

т. е. при гармоническом колебательном движении ускорение тела прямо пропорционально смещению от положения равновесия и имеет

противоположный ему знак. На рис. 1.39 показаньй изменения смещения х, скорости и ускорения а с течением времени.

Периодом гармонического колебательного движения называется наименьшее время по истечении которого все величины, характеризующие это движение , в точности принимают первоначальные значения. Для того чтобы все тригонометрические функции (4.2), (4.3) и (4.4) одновременно приняли первоначальные значения, их аргументы (т. е. фазы) должны измениться на где целое число.

Рис. 1.39

Период колебания соответствует изменению фазы на Если в момент фаза колебаний какой-нибудь величины была равна то через время фаза оказывается равной со Приравняв изменение фазы пблучим:

Величина

называется частотой колебаний и показьшает, сколько раз в единицу времени повторяется одно и то же состояние колеблющегося тела.

Величина со, также имеющая размерность называется угловой (или круговой) частотой колебаний. В формуле гармонического колебания фаза может быть выражена не только через со, но и через или Т:

Формула (4.5), переписанная в виде

есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний; оно связывает колеблющуюся величину с ее второй производной по времени. Можно утверждать, что если изменяется со временем согласно формуле (4.1), то она удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.7). Верно и обратное утверждение: если какая-либо

переменная физическая величина удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.7), то, следовательно, она изменяется со временем по гармоническому (синусоидальному или косинусойдальному) закону (4.1) с постоянными значениями и

Для описания гармонических колебаний часто употребляется аналитически очень удобная комплексная функция

которая в своей действительной части содержит функцию косинуса, а в мнимой — функцию синуса:

где Легко показать, что функция (4.8) — периодическая, т. е. , где кроме того, она удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.7).