§ 14. О ЦЕНТРЕ МАСС СИСТЕМЫ

Законы механики для точечного тела, а также законы сохранения для системы взаимодействующих тел установлены относительно к; циальных систем отсчета; таковой является система отсчета связанная с неподвижными звездами. Однако при изучении механических явлений (например, в лабораторных условиях) возникает необходимость в практически более удобных системах отсчета. Разумеется, можно любую составную часть изучаемой системы условно полагав неподвижной и с ней связать координатные оси, но полученная таким

образом система отсчета может оказаться неинерциальной. Например, в изолированной системе из двух притягивающихся тел можно одно из них принять за неподвижное; тогда второе тело будет с ускорением приближаться к «неподвижному» первому и общий импульс (состоящий в данном случае только из импульса второго тела) с течением времени увеличивается. Следовательно, при таком выборе «неподвижного» тела закон сохранения импульса в системе (3.6) не будет соблюдаться, несмотря на то что система изолирована и внешние силы отсутствуют; точно так же не соблюдается и закон сохранения механической энергии (см. выражение (3.13)).

Для нахождения инерциальных систем отсчета поступим следующим образом. Допустим, что — известная инерциальная система шсчета, относительно которой изучается взаимодействие двух тел (рис. 1.34).

Рис. 1.34

Для простоты рассуждений предположим, что движение тел происходит по оси Найдем точку О, координата которой удовлетворяет условию

скорость движения этой точки

Если движение тел происходит только под действием внутренних сил взаимодействия (т. е. внешние силы отсутствуют и система является изолированной), то числитель выражения (3.25), представляющий собой суммарный импульс в системе, с течением времени изменяться не будет. Следовательно, скорость перемещения точки О относительно будет постоянной величиной. Если теперь связать с точкой О новую систему отсчета то она будет перемещаться относительно прямолинейно и равномерно и поэтому также будет инерциальной системой отсчета.

Приведенные выше рассуждения можно повторить и для любой изолированной системы, взаимодействующих тел. Для каждой изучаемой системы тел можно найти точку О, координаты которой

относительно равны:

Если связать с этой точкой координатные оси, то получим новую инерциальную систему отсчета. Точка О называется центром масс (или центром инерции) данной системы (см. также § 6). Таким образом, для каждой изолированной системы взаимодействующих тел система отсчета, связанная с ее центром масс, является инерциальной.

Покажем, что суммарный импульс системы тел относительно системы отсчета связанной с центром масс, равен нулю. В частном случае для системы двух тел (рис. 1.34), координаты которых относительно 5 обозначены через и имеем:

Подставив в эту формулу значение из выражения (3.25), получим

В более общем случае можно получить:

где проекции скоростей составных частей рассматриваемой системы тел на координатные оси системы отсчета

Допустим теперь, что на составные части системы действуют внешние силы; тогда ускорение каждого из этих тел относительно инерциальной системы отсчета определяется суммой внутренних и внешних сил, - например При суммировании этих уравнений внутренние силы, согласно третьемузакону механики, исчезнут, поэтому

Обозначим векторную сумму внешних сил через Разложим эту силу и ускорения тел на составляющие по координатным осям; для оси получим

Из выражения для взяв вторую производную по времени, получим

Обозначим полную массу системы через тогда, сопоставляя уравнения (3.27) и (3.28), получим

Такие же выражения получаются для составляющих по другим осям. Следовательно, полное ускорение центра масс относительно инерциальной системы отсчета определится из уравнения

т. е. центр масс системы перемещается с ускорением, равным отношению равнодействующей всех внешних сил к массе всей системы. Например, допустим, что на тело действуют две равные и противоположно направленные силы («пара сил»), стремящиеся сообщить ему вращательное движение (рис. 1.35).

Рис. 1.35

Так как равнодействующая пары сил равна нулю, то центр масс останется неподвижным, следовательно, тело бдет вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс, независимо от того, в каких точках приложены силы.