§ 18. СОБСТВЕННЫЕ, СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

Если система изолирована от внешних воздействий и колебательное движение происходит без трения, то ее полная механическая энергия с течением времени не изменяется. Тогда из постоянства следует, что и энергия колебаний будет также оставаться с течением времени постоянной. В реальных системах эта энергия может уменьшаться не только вследствие трения, но и при наличии излучения, когда колеблющиеся тела приводят в периодическое движение соприкасающиеся с ними частицы окружающей среды и в этой среде образуются упругие волны. Например, камертон или струна вызывает в воздухе звуковые волны, постепенно расходуя на это свою энергию колебаний.

Потери энергии в системе вследствие трения или излучения можно компенсировать при помощи внешнего воздействия на систему, тогда колебания могут стать незатухающими. Сообщение системе энергии извне можно осуществить, например, путем прерывистых, периодически повторяющихся воздействий, при которых система сразу получает значительное количество энергии и затем постепенно расходует их на трение или излучение. Так поступают, ударяя молоточком по маятнику, камертону или струне. Колебания при таких воздействиях носят сложный характер; после получения энергии амплитуда

колебаний резко возрастает и затем вследствие потерь постепенно убывает до следующего удара. Заметим, что при этих ударах внешняя сила, приложенная к колеблющемуся телу, увеличивает его энергию только в том случае, если она совершает положительную работу, т. е. действует в направлении движения этого тела.

Рассмотрим другой способ компенсации потерь, когда энергия сообщается системе так же непрерывно, как она расходуется на трение или излучение. Это можно осуществить, если к колеблющемуся телу приложить непрерывно действующую силу. Очевидно, для этой цели постоянная по величине и направлению сила непригодна, так как она при двикении тела в одном направлении будет совершать положительную работу, а в противоположном направлении — равную отрицательную работу; действие такой силы выразится только в смещении положения равновесия, вокруг которого происходят колебания. Например, сила тяжести, действующая на пружинный маятник (см. рис. 1.42), не может предотвратить затухания колебания, а только опускает точку, соответствующую положению равновесия колеблющегося тела. Поэтому для компенсации потерь на трение или излучение непрерывно действующая внешняя сила должна быть переменной; только в этом случае в течение каждого периода колебаний положительная работа внешней силы может быть больше отрицательной.

Рассмотрим простейшую колебательную систему с одной степенью свободы, в которой колебания происходят вдоль некоторой линии, например оси Согласно второму закону механики, движение тела должно определяться уравнением

Правая часть этого уравнения есть сумма всех сил, действующих на тело; допустим, что в этой сумме содержатся только три силы:

1) сила упругости, пропорциональная смещению тела от положения равновесия (см. формулу (4.9)),

2) сила трения, пропорциональная первой степени скорости тела,

(знак минус указывает, что направление силы трения всегда противоположно направлению скорости движения);

3) внешняя сила, - непрерывно изменяющаяся со временем по какому-нибудь закону; в частности, предположим, что внешняя сила является синусоидальной:

Если силы трения и внешняя сила отсутствуют, формула (4.19) дает дифференциальное уравнение

которое имеет решение в виде

где Амплитуда колебаний и начальная фаза должны быть определены из дополнительно заданного состояния системы в какой-нибудь момент времени, например при частота колебаний определяется только свойствами колебательной системы: массой колеблющегося тела и коэффициентом упругой силы Амплитуда колебаний может быть сделана различной в зависимости от той энергии, которая была сообщена системе при выводе ее из состояния покоя. Начальная фаза определяется выбором того момента с которого начинается отсчет времени.

Колебания, происходящие при отсутствии внешних сил и трения, называются собственными; частота собственных колебаний зависит только от свойств системы.

Допустим теперь, что в системе действуют две силы: уравнение движения тела будет иметь вид

Разделим это уравнение на массу тела и обозначим:

Тогда получим дифференциальное уравнение

Этому уравнению удовлетворяет функция

где

График этой функции изображен на рис. 1.44. Начальная амплитуда колебаний должна быть задана дополнительно.

Таким образом, если на тело кроме силы упругости действует сила трения, пропорциональная первой степени скорости движения, то тело будет совершать колебательное (но не гармоническое!) движение с частотой, зависящей от и . Амплитуда колебаний (т. е. значение х при будет с течением времени изменяться по экспоненциальному закону

Величина

определяющая быстроту убывания амплитуды колебаний с течением времени, называется коэффициентом затухания и имеет размерность Произведение коэффициента затухания на период колебания

равное логарифму отношения двух соседних амплитуд:

есть безразмерная величина и называется логарифмическим декрементом затухания.

Заметим, что при нелинейной зависимости силы трения от скорости колебание тела будет иметь более сложный вид.

Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь; с увеличением эта частота уменьшается.

Рис. 1.44

Рассмотрим более общую задачу — определение движения тела, на которое действуют все три упомянутые выше силы:

Разделим это уравнение на массу тела и к обозначениям (4.23) добавим

Тогда уравнение примет вид

Внешняя сила будет совершать работу, знак которой зависит от разности фаз между силой и скоростью движения тела. Если направление внешней силы противоположно направлению движения (т. е. скорости колеблющегося тела), то она совершает отрицательную работу и поэтому тормозит движение колеблющегося тела; если же направление силы совпадает с направлением движения тела, то она совершает положительную работу и, следовательно, ускоряет движение тела. Со временем это приведет к тому, что тело будет вынуждено колебаться с той же частотой, с какой изменяется внешняя сила.

К такому же выводу можно прийти, если проанализировать уравнение (4.27). Оно должно соблюдаться для каждого момента времени, поэтому если сила временем изменяется по какому-нибудь закону, то вслед за ней и одновременно должны изменяться смещение, скорость и ускорение колеблющегося тела; следовательно, частоты изменения этих величин должны совпадать с частотой изменения внешней силы.

Однако фазы колебаний этих величин могут отличаться от фазы внешней силы; если, например, внешняя сила достигла нуля, то это вовсе не означает, что одновременно должны равняться нулю каждое

из выражений так как их знаки могут быть различными. В частности, для компенсации потерь на трение разность фаз между внешней силой и скоростью движения должна быть такой, чтобы результирующая работа внешней силы была положительной и равнялась работе силы трения.

Допустим, что разность фаз между внешней силой и смещением колеблющегося тела равна так как тело вынуждено совершать колебания с частотой внешней силы, то

(эту функцию можно получить аналитически, решая уравнение (4.28)). Тогда скорость и ускорение будут иметь фазы, отличающиеся дополнительно на

Нам необходимо найти Подставим выражения (4.28) и (4.30) в уравнение (4.28), произведем упрощения и приравняем нулю отдельно коэффициенты перед В результате вычислений получим:

Таким образом, если на колеблющееся тело действует периодическая синусоидальная сила с частотой то тело совершает колебания с той же частотой, причем амплитуда колебаний будет зависеть от амплитуды и частоты внешней силы, откоэффициента затухания, от упругих свойств системы и массы колеблющегося тела; такие колебания называются вынужденными.

При некоторой частоте внешней силы знаменатель в выражении (4.31) для будет иметь минимальное, а амплитуда вынужденных колебаний — максимальное значение. Для нахождения этой частоты (называемой резонансной) приравняем нулю производную:

откуда следует

Таким образом, для данной колебательной системы, имеющей собственную частоту колебаний резонансная частота внешней силы (при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума) зависит от коэффициента затухания. Наименьшая частота соответствует предельному соотношению при этом период внешней силы равен бесконечности, а По мере уменьшения коэффициента затухания резонансная частота внешней силы увеличивается, а при

На рис. 1.45 показан характер изменения амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от при данном Чем меньше

коэффициент затухания, тем резче изменяется амплитуда вынужденных колебаний при приближении частоты внешней силы к резонансному значению, т. е. тем более острым является максимум При амплитуда вынужденных колебаний одинакова для всех и равна

т. е. соответствует тому отклонению, которое может вызвать в системе статическая сила Максимальную амплитуду для какого-нибудь заданного значения можно найти, подставив в (4.31) значение

Множитель

показывающий, насколько максимальная амплитуда превышаег величину соответствующую называется добротностью данной колебательной системы. Чем меньше коэффициент затухания 6 или логарифмический декремент затухания тем больше добротность системы и тем более острым будет максимум амплитуды.

Рис. 1.45

Согласно формуле для фазы (4.31), если очень мало, то тогда фаза скорости колеблющегося тела совпадает с фазой внешней силы. Это означает, что скорость тела и внешняя сила растут и убывают одновременно, имея всегда одинаковый знак, т. е. одинаковое направление. В этом случае внешняя сила в течение всего периода колебаний совершает только положительную работу. Если же то внешняя сила совершает в течение одной части периода положительную, а в течение другой части периода — несколько меньшую отрицательную работу. Результирующая положительная работа будет тем меньше, чем больше различие между

Допустим, что система совершает свободные (затухающие) колебания и в некоторый момент на нее начинает действовать периодическая сила (см. выражение (4.21)). Обозначим работу сил трения через а положительную работу, внешней силы через Если то и при наличии внешней силы затухание сохранится, но будет несколько ослаблено. Однако с уменьшением амплитуды и скоростей колеблющегося тела уменьшается и работа сил трения Когда становится равной изменение амплитуды колебаний прекращается и работа сил трения полностью компенсируется работой внешней силы. Если же в начальный период то избыток пройдет на увеличение энергии колебаний; амплитуды смещения и скорости

будут расти, следовательно, будет увеличиваться также и Как только сделается равной дальнейшее увеличение амплитуды колебаний прекратится. Однако в некоторых случаях возможно, что непрерывно «подкачиваемая извне энергия» настолько увеличит размах колебаний в системе, что она разрушится раньше, чем наступит состояние

Указанное выше возрастание амплитуды колебаний под действием внешней силы происходит особенно быстро, когда коэффициент затухания мал, а частота внешней силы равна или близка к частоте собственных тяебаний при этих условиях положительная работа внешней силы достигает (при данных наибольшего значения. Поэтому опасность разрушения колебательной системы периодическими внешними силами особенно велика при совпадении частот

Рис. 1.46

Колебания, происходящие в системе при условии называются резонансными. Резонансные колебания могут привести или к установлению в системе определенного колебательного режима с большими амплитудами колебаний, или же, если потери на трение и излучение не смогут приостановить увеличения амплитуды колебаний, к разрушению системы.

Если на покоящуюся колебательную систему в некоторый момент времени начинает действовать внешняя периодическая сила, то вынужденные колебания наступают не сразу. В течение некоторого времени колебание тела носит сложный характер; происходит постепенное затухание («подавление») возникающих сначала собственных колебаний и также постепенное установление вынужденных колебаний с частотой внешней силы и амплитудой (см. уравнение (4.31)). Поэтому функция (4.29) является частным решением дифференциального уравнения (4.28), соответствующим установившемуся состоянию колебательного движения в системе.

На величину амплитуды колебаний можно также воздействовать, изменяя параметры системы, т. е. величины, от которых зависит частота колебаний (длина маятника, коэффициенты возвращающих сил и моментов, коэффициенты трения и т. д.). Рассмотрим, например, простой маятник, длину которого можно изменять в процессе колебаний (рис. 1.46). Если при прохождении тела через точку скоростью уменьшить длину нити на то внешняя сила равная натяжению нити, совершит положительную работу Обратное удлинение нити на можно произвести в крайнем положении; тогда внешняя сила совершит меньшую отрицательную работу Маятник получит извне энергию, равную Повторяя такой процесс, можно увеличивать амплитуду колебаний тела.

Можно вызвать нарастание амплитуды колебаний также и воздействием внутренних сил, изменяющих один из параметров системы.

Допустим, например, что в системе, изображенной на рис. 1.46, форма колеблющегося тела может изменяться таким образом, чтобы расстояние I от точки подвеса до центра тяжести тела увеличивалось в крайних положениях и уменьшалось при прохождении через положение равновесия (человек на качелях). При этом внутренние силы, изменяющие форму тела, будут совершать указанные выше работы а результирующая положительная работа вызовет постепенное увеличение амплитуды колебаний. Заметим, что в обоих случаях начальное значение амплитуды колебаний может быть очень малым..

Подобное нарастание колебаний при изменении параметров системы (так называемое «параметрическое возбуждение») можно осуществить и в других колебательных системах; необходимо оказывать такое периодическое воздействие на тот или иной параметр системы, чтобы система могла получить энергию извне.