§ 9. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ МЕТАЛЛОВ. ЗАКОНЫ ОМА И ДЖОУЛЯ—ЛЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬЮ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ

МЕТАЛЛОВ

Рассмотрим электрический ток в металлических проводниках, внутри которых существует электрическое поле с напряженностью Это поле действует на электроны проводимости с силой сообщающей им ускорение где масса электрона. Если бы движение электронов в металле происходило без потерь энергии, то их скорость, а следовательно, и сила тока в проводнике со временем увеличивались бы. Однако при столкновениях с атомами вещества, совершающими беспорядочное тепловое движение, электроны теряют часть своей кинетической энергии.

При постоянном токе, когда средняя скорость упорядоченного Движения электронов остается со временем неизменной, вся энергия, получаемая электронами под действием электрического поля, должна быть передана атомам вещества, т. е. перейти в энергию их теплового движения.

Для простоты рассуждений предположим, что при каждом столкновении электрон полностью теряет ту энергию, которую он получил под действием силы за время свободного пробега от одного столкновения до другого. Это означает, что в начале каждого свободного пробега электрон имеет только скорость своего теплового движения , а в конце пробега, перед столкновением, его скорость под действием силы увеличивается на некоторую величину Отвлекаясь от теплового движения, можно полагать, что перемещение электрона в направлении действия силы является равноускоренным, с начальной скоростью Завремя свободного пробега электрон приобретает скорость упорядоченного движения а средняя скорость этого движения

Время свободного пробега определяется средней скоростью беспорядочного (теплового) движения электрона и средней длиной свободного пробега Тогда плотность тока в металлическом проводнике

Перепишем эту формулу в виде

Величина

характеризует свойства проводника и называется его удельной электрической проводимостью (электропроводностью).

Энергию приобретаемую одним электроном за время под действием силы можно рассчитать, умножив на число свободных пробегов за время т. е.

При постоянном токе вся эта энергия передается веществу проводника и переходит в тепловое движение его атомов. Рассчитаем энергию, которая в единицу времени передается единице объема проводника, содержащего свободных электронов:

или, так как равна плотности тока, то

Формула выражает закон Ома, а формула (2.9) — закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме. Приведенный выше вывод этих законов сделан на основе так

называемой классической электронной теории проводимости металлов. Эта теория утверждает, что в металлах имеется некоторое количество свободных электронов («электронный газ»), которые перемещаются в пределах объема проводника, но не могут покинуть этот объем. Для электронного газа поверхность металла представляет собой как бы «стенки сосуда». Физически это означает, что на поверхности металла для электронов существует особый потенциальный барьер, т. е. при переходе через поверхностный слой на электроны действуют значительные силы, направленные внутрь объема металла. Для того чтобы преодолеть этот «барьер», электроны должны обладать достаточной кинетической энергией.

Условия, при которых электроны могут преодолеть потенциальный барьер в поверхностном слое металла и покинуть его объем, рассматриваются в § 12 и 13.

Согласно выражению (2.7) для электропроводность металлов прямо пропорциональна плотности электронного газа, т. е. числу свободных электронов в единице объема металла. Однако от этого числа зависит и теплопроводность металла, так как, участвуя в тепловом движении, свободные электроны, весьма подвижные и обладающие большими скоростями, способствуют переносу тепла от одних (нагретых) мест металла к другим (холодным).

Измерения показали, что отношение коэффициента теплопроводности к электропроводности о почти одинаково для всех металлов и пропорционально первой степени абсолютной температуры:

(закон Видемана — Франца).

Удельное сопротивление металлических проводников зависит от их внутренней структуры и от температуры. Чистый металл должен характеризоваться удельным сопротивлением, найденным для монокристалла этого вещества в различных направлениях (монокристалл является электрически анизотропным). Обычные технические металлы не являются химически чистыми и, кроме того, имеют поликристаллическую структуру, в которой монокристаллы весьма малых размеров ориентированы беспорядочно, и поэтому вещество оказывается изотропным. Удельное сопротивление сильно зависит от наличия неоднородностей в структуре металла. В монокристаллах химически чистых металлов неоднородность создается тепловым движением атомов в узлах кристаллической решетки; это движение совершенно беспорядочное, поэтому в объеме кристалла временно возникают и исчезают области с большей или меньшей концентрацией атомов (в единице объема). Наличие таких флуктуаций плотности увеличивает число столкновений электрона с атомами и между собой; это уменьшает длину свободного пробега электронов, вследствие чего, согласно формуле (2.7), уменьшается удельная проводимость. Кроме теплового движения неоднородности в кристаллической решетке данного металла возникают и при наличии примесей. Известно, что удельные проводимости некоторых чистых металлов (например, серебра) уменьшаются в несколько раз при добавлении небольшого количества других металлов.

Представление о том, что «электронный газ» в металлах хотя бы в первом приближении можно рассматривать как идеальный газ, заключенный в объем данного металлического тела, оказалось неприемлемым. Свойства электронного газа внутри металлов существенно отличаются от свойств обыкновенных газов и рассматриваются в квантовой теории металлов.