ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР

Допустим теперь, что электрон движется в поле, в котором потенциальная энергия не равна нулю. В наиболее простом случае, когда и напряженность поля равна нулю, решение уравнения Шредингера будет отличаться от (2.25) только значением волнового числа:

Задача усложняется, если т. е. напряженность поля отлична от нуля и частица движется с ускорением. Однако некоторые задачи после

подходящей идеализации могут быть решены с помощью уравнения Шредингера и в том случае, когда скорость частицы изменяется.

Рассмотрим простой пример — движение заряженной частицы вдоль оси в тормозящем электрическом поле и допустим, что торможение происходит на некотором малом участке пути, протяженность которого равна (рис. IV.60, а). Будем полагать, что до этого участка поле отсутствует частица движется равномерно со скоростью и имеет энергию Далее допустим, что в точках потенциал поля постоянен и тормозящие силы опять отсутствуют. Согласно классическим представлением, при частица пройдет этот «потенциальный барьер» и после него будет двигаться со скоростью

При частица остановится в некоторой точке участка и затем будет двигаться в обратном направлении; выйдя из этого участка она вновь будет иметь скорость и энергию Таким образом, согласно классическим представлениям, частица либо преодолеет барьер (при либо же отразится от него (рис. IV, 60, а).

Рис. IV.60

Однако наличие у частиц волновых свойств и необходимость описания ее поведения волновым уравнением Шредингера не позволяют делать такие категорические утверждения. Для упрощения рассуждений идеализируем эту задачу допущением, что в точке (рис. IV.60, б) потенциал «скачком» возрастает от нуля до (т. е. ширина участка равна нулю). Ввиду этого уравнение Шредингера следует решать отдельно для областей но в самой точке оба решения должны совпадать, Общие решения для этих областей запишем в виде:

Для первого участка мы исключили второй член решения (2.25), так как, по условию задачи, частицы до барьера движутся только в одном направлении. Однако для второго участка этот член должен быть сохранен, пока не будет выяснено «волновое» поведение частицы в потенциальном барьере. Если, например, на барьер ежесекундно поступает частиц, то возможно, что из них пройдут через барьер, отразятся от него. Лишь в том случае, если будет доказано, что число отраженных частиц при и число проходящих частиц при в точности равны нулю, можно исключать соответствующий член в выражении для (только в этом случае классическое и квантовое решения задачи будут совпадать). Для выяснения этого вопроса выберем некоторую площадку 5, перпендикулярную направлению движения частиц; тогда числа частиц ежесекундно проходящих через эту площадку, могут быть выражены через их скорости через числа частиц в единице объема

Так как то, разделив на получим

Первый член этого равенства, который обозначим через есть «коэффициент пропускания» («прозрачности») барьера; второй член есть «коэффициент отражения» частиц от барьера. Для их вычисления

воспользуемся тем, что числа частиц в единице объема определяются квадратами амплитуд волновых функций и поэтому

Далее, скорости частиц могут быть выражены через длины дебройлевских волн в рассматриваемых областях или через соответствующие волновые числа тогда

Воспользуемся теперь условием, что при оба решения волнового уравнения должны совпадать, т. е. Для упрощения положим, что барьер расположен в начале координат, т. е. ; тогда очевидно, что

Полученные соотношения позволяют рассчитать коэффициенты пропускания и отражения частиц потенциального барьера. Выразим эти коэффициенты через скорости частиц:

Таким образом, отражение от барьера будет происходить и в том случае, когда тогда как по классическим представлениям при этом условии все частицы должны были бы преодолеть барьер и выйти во вторую область. Так как отношение скоростей равно

то коэффициент отражения будет зависеть от относительной высоты барьера например, при Если то

Рис. IV.61

Выше было предположено, что ширина барьера в этом случае отражение частиц происходит в точках с координатами Если же барьер имеет конечную ширину, то отражение будет происходить на протяжении всего участка с постепенно возрастающим значением коэффициента

При когда по классическим представлениям должно иметь место полное отражение всех частиц от барьера, расчет волновых функций показывает, что непосредственно за барьером волна соответствующая «проходящей» члсти волны не равна нулю, но ее интенсивность очень быстро убывает по экспоненциальному закону по мере удаления от границы барьера. Ввиду этого если барьер имеет некоторую малую толщину как это показано на рис. IV.61, а, то из падающих на барьер частиц некоторая часть преодолеет такой барьер и только

частиц будут отражены от него, Коэффициент прозрачности оказывается в зависимости от

Если, например, (электрон), т. е. около электронов смогут преодолеть этот барьер; однако если толщину барьера увеличить в 10 раз, то число прошедших электронов уменьшится почти в миллион раз.

Прохождение частиц через потенциальный барьер при (когда по классическим представлениям оно невозможно), называется туннельным эффектом. Если барьер имеет не прямоугольную форму, как это показано на рис. но изменяется плавно, т. е. то частицы будут проникать внутрь барьера и в каждом участке шириной будет происходить разделение частиц на проходящие и отраженные Соотношение между ними будет зависеть от и толщины