§ 28. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ; ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС

Если на колебательный контур подействовать извне периодической э. д. с., то в контуре можно вызвать вынужденные электромагнитные колебания. Внешнюю периодическую э. д. с. можно приложить различными способами, например, путем индуктивной электромагнитной связи контура с источником э. д. с. или путем непосредственного присоединения источника тока к контуру (рис. III.84, а, б, в).

Рассмотрим колебания в контуре, изображенном на рис. II 1.84, б. Допустим, что внешняя э. д. с. изменяется со временем по синусоидальному закону

Присоединенный к, контуру внешний источник тока совершает положительную работу и, следовательно, увеличивает энергию контура только в том случае, когда ток в контуре течет в направлении электрического поля вызванного этим источником тока.

Рис. III.84

Наоборот, внешняя э. д. с. производит отрицательную работу и уменьшает энергию контура, если ток течет в направлении, противоположном Если при наличии внешней э. д. с. в контуре с сопротивлением установились незатухающие колебания, то это означает, что результирующая работа внешнего источника за один период колебаний является положительной и в точности равна потерям энергии в контуре за тот же промежуток времени (причем подкачка энергии извне производится также непрерывно, как она и расходуется на различные потери).

Найдем амплитуду, частоту и фазу силы тока при вынужденных колебаниях в контуре с заданными неизменными значениями параметров под действием внешней э. д. с. (см. формулу (4.10)), Если частота колебаний небольшая, а длина проводников контура невелика, то можно полагать, что сила тока во всех сечениях контура в каждый момент времени одна и та же; следовательно, можно применить второе правило Кирхгофа для замкнутых контуров; сумма падений напряжения в контуре равна сумме э. д. с., действующих в этом контуре:

Первое уравнение должно соблюдаться в любой момент времени; поэтому, если внешняя э. д. с. изменяется по какому-нибудь закону,

то вслед за ней, для сохранения этого соотношения, вынуждены одновременно изменяться Это означает, что изменения со временем должны происходить с такой же частотой , с какой изменяется внешняя э. д. с.; однако фаза колебаний этих величин может отличаться от фазы

Продифференцируем уравнение (4.11) по времени; получим дифференциальное уравнение для силы тока:

Для установившегося режима колебаний решение этого уравнения имеет вид

Расчет приводит к следующим значениям для амплитуды тока и разности фаз между током и внешней э. д. с.:

Таким образом, амплитуда тока в контуре зависит от и от соотношения между и . При постоянном можно получить максимальную амплитуду тока, если

или

В данном случае сила тока изменяется в одной фазе с внешней э. д. с., вследствие чего работа этой э. д. с. в течение всего периода колебаний положительна внешняя э. д. с. в течение части периода совершает отрицательную работу, когда и имеют различные знаки). Условие означает, что частота внешней силы равна частоте собственных колебаний (см. формулу (4.5)). При этом условии энергия, поступающая от внешнего источника к контуру за один период колебания, достигает максимума, т. е. источник тока развивает наибольшую полезную мощность. Накопление энергии в контуре, а следовательно, увеличение силы тока происходит до тех пор, пока сумма потерь за период не станет равной притоку энергии от внешнего источника за то же время. Очевидно, при малых для этого потребуются большие токи (большие значения амплитуды тока при малых сопротивлениях получаются из соотношения Следует учесть, что большие токи могут вызвать сильное нагревание проводников, изменение их сопротивления и даже расплавление).

Равенство частоты внешней э. д. с. и частоты собственных колебаний контура есть условие электрического резонанса. При этом не только амплитуда силы тока, но и амплитудные значения всех электрических и магнитных величин, изменяющихся при колебаниях, достигают наибольших значений. Отметим, что при резонансе величина равна и амплитуда падения напряжения на конденсаторе

равна амплитуде напряжения на катушке:

Чем сильнее отличается частота внешней э. д. с. от частоты собственных колебаний контура, тем, согласно формуле (4.14), меньше амплитудные значения силы тока и связанных с нею величин.

Аналогичные рассуждения можно провести и для других способов воздействия внешней периодической э. д. с. на колебательный контур (рис. III.84, а, в). Как в схеме с индуктивной связью так и при параллельном соединении внешнего источника к емкости и индуктивности в контуре можно получить незатухающие колебания, так как в обоих случаях удается осуществить непрерывную компенсацию потерь энергии в контуре. Для этого необходимо, чтобы внешний источник тока совершал положительную работу. В обеих схемах можно доказать, что если частота внешней э. д. с. сильно отличается от частоты собственных колебаний контура, т. е. от то у внешнего источника тока между э. д. с. и силой тока существует разность фаз, вследствие чего за одну часть периода колебаний она совершает положительную, а за остальную часть — отрицательную работу. При резонансе ток через внешний источник находится в фазе с его э. д. с., и тогда в течение всего периода совершается только положительная работа. Амплитуда силы тока через внешний источник, а также амплитуда силы тока в контуре достигают при этом максимальных значений.

Для схемы при малом сопротивлении амплитуда тока в контуре оказывается при резонансе значительно больше амплитуды тока протекающего через внешний источник. В контуре происходит перекачка большого количества энергии от конденсатора к катушке и обратно, тогда как от внешнего источника в контур поступает лишь небольшая мощность, необходимая только для компенсации потерь.

Возбуждение колебаний в электрическом контуре возможно и без участия внешней переменной электродвижущей силы; подкачку энергии в контур можно произвести при помощи периодического механического воздействия на параметры контура — емкость и индуктивность («параметрическое возбуждение»). Допустим, что в начальный момент времени, когда ток в контуре равен нулю, на обкладках конденсатораимеются очень малые («затравочные») заряды соответствующая им энергия будет равна Произведем достаточно быстрое уменьшение емкости конденсатора (например, раздвигая его обкладки или удаляя диэлектрик). При этом придется совершить некоторую работу, которая пойдет на увеличение энергии электрического поля внутри конденсатора. Разность потенциалов на обкладках конденсатора увеличивается и поэтому максимальный ток, вызванный в контуре при последующей разрядке конденсатора, будет несколько больше, чем это было бы без внешнего воздействия. В момент, когда конденсатор разрядится, можно произвести увеличение емкости (сближение обкладок или введение диэлектрика) без затраты энергии. Когда закончится один период колебания,

заряды на обкладках конденсатора окажутся больше (ввиду того что были большими токи через индуктивность). В этот момент можно повторить внешнее воздействие — затратить механическую работу и уменьшить емкость конденсатора; разность потенциалов между обкладками конденсатора опять увеличится, и в течение второго периода колебаний ток через индуктивность будет еще больше. Следовательно, периодически повторяя процесс уменьшения емкости конденсатора в его заряженном состоянии и увеличения — в разряженном, можно получить в контуре электрические колебания с очень большими значениями зарядов и токов. Необходимым условием для этого является равенство между частотой внешнего механического воздействия и частотой собственных колебаний контура.

Аналогичное параметрическое возбуждение колебаний в электрическом контуре может быть получено, если механическое воздействие оказывать не на конденсатор, а на индуктивность контура. Можно, например, вкладывать железный сердечник в катушку, когда через нее равен нулю, вытаскивать из нее, когда ток равен максимуму; последняя операция потребует затраты механической работы, которая пойдет на увеличение энергии магнитного поля в катушке увеличивается при почти постоянном При резонансе между частотой таких воздействий и частотой собственных колебаний контура можно довести амплитуды токов и зарядов до больших значений. Заметим, что в обоих процессах параметрического возбуждения затрачивается внешняя механическая энергия и увеличивается электромагнитная энергия контура, т. е. электрический контур работает как преобразователь механической энергии в электромагнитную.