§ 25. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ

ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

При изучении волновых процессов в самом общем случае ставится следующая задача: дано тело определенной формы и размеров, совершающее колебания в некоторой среде, свойства которой известны; даны амплитуды, фазы и направления колебаний всех точек тела; требуется определить форму и расположение фронта волны или волновой поверхности в среде в каждый интересующий нас момент времени, а также амплитуды колебаний в различных точках этих поверхностей.

Для этой цели сначала рассматривается взаимодействие колеблющегося тела со средой и определяется фронт волны в непосредственной близости от этого тела. Дальнейшее распространение волны в среде определяется при помощи принципа Гюйгенса и принципа суперпозиции.

В основе принципа (или правила) Гюйгенса лежит утверждение: все точки волнового фронта, заданного в некоторый момент времени можно рассматривать как самостоятельные источники волны, начавшие излучать в момент (эти волны называются элементарными или вторичными).

Для нахождения фронта волны в последующий момент времени А необходимо найти фронты всех элементарных волн и затем провести их огибающую.

Элементарные волны могут быть сферическими (если среда изотропная), эллипсоидальными или иными в зависимости от свойств среды. Таким образом, при помощи принципа Гюйгенса можно чисто геометрическим построением найти расположение фронта волны в последующие моменты времени, если это расположение задано в момент Однако принцип Гюйгенса не определяет амплитуды колебаний в различных точках, куда доходит волна. Для этого дополнительно используется принцип суперпозиции, содержание которого заключается в следующем.

Допустим, что — фронт волны (или волновая поверхность) в момент — в момент (рис. 1.58, а). Элементарные волны, исходящие из различных точек поверхности имеют в этих точках одинаковые фазы (амплитуды их могут отличаться). В момент эти волны дойдут до точки А с фазами и амплитудами, зависящими от расстояний Принцип суперпозиции утверждает, что амплитуду колебаний в точке А можно найти, сложив все

колебания, вызванные в этой точке. При этом обычно предполагается, что колебания в среде линейные и поэтому в точке А суммарное отклонение от состояния равновесия у равно сумме отклонений вызванных каждой волной в отдельности.

Допустим, что в данной среде имеются несколько точечных источников волны (одинаковой частоты). Рассмотрим две точки среды: А у в которой смещения, вызванные этими волнами, имеют одинаковое направление и поэтому складываются, и В, в которой смещения имеют противоположные направления и вычитаются. Так как энергия колебаний в единице объема среды пропорциональна квадрату амплитуды, то вблизи точки А плотность энергии колебаний значительно больше, чем около точки В, т. е. распределение энергии в среде будет неравномерным.

Рис. 1.58

Это распределение, если оно со временем не изменяется и поэтому может быть обнаружено и изучено, называется интерференционной картиной. Образование интерференционной картины {интерференция) возможно, если волны имеют одинаковые частоты и приходят в данную точку среды с постоянной разностью фаз (не изменяющейся со временем); такие волны называются когерентными. Колеблющиеся тела, вызывающие в среде когерентные волны, называются когерентными источниками. Например (рис. 1.58, а), точки поверхности колеблются с одинаковыми частотами и фазами, а исходящие от них элементарные волны приходят в точку А с разностями фаз, которые зависят только от расстояний и не изменяются со временем; поэтому все точки волновой поверхности являются когерентными источниками, а испускаемые ими элементарные волны — когерентными волнами.

При помощи принципа Гюйгенса и принципа суперпозиции можно решить ряд важных задач по распространению волн в неоднородной и неизотропной среде. В частности, рассмотрим распространение

волны в среде, в которой имеются тела, не пропускающие этой волны, поглощающие или отражающие ее. Допустим, плоская волна имеющая во всех своих точках одинаковую амплитуду колебаний, встречает «непрозрачное» для этой волны тело не пропускающее участок волны АВ (рис. 1.58,6). Применим принцип Гюйгенса для момента времени; когда волновой фронт находится в Построив фронты элементарных волн, исходящих из точек и проведя огибающие I, II и т. д., заметим, что волновой фронт заходит в область С, которую называют областью геометрической тени (из геометрических соображений можно предположить, что волна, отрезаемая телом, не должна заходить в эту область).

Это проникновение волны в область геометрической тени называется дифракцией волны. Применяя принцип суперпозиции, можно установить, что вдоль нового фронта волны I или II амплитуда колебаний (или плотность потока энергии) уже не везде одинакова, как это было задано для волнового фронта Подобная задача рассматривается также в разделе оптики для световых волн; здесь же заметим, что при дифракции волны происходит некоторое перераспределение энергии в пределах фронта волны, причем это перераспределение особенно заметно вблизи границ непрозрачных тел.

Рис. 1.59

При помощи принципа Гюйгенса объясняются также законы отражения и преломления волн на границе раздела двух сред. Соответствующие построения для световых волн приводятся в разделе оптики; они применимы и для упругих волн в механических средах. Допустим, что на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных сред скорости распространения колебаний в которых равны падает плоская волна причем нормаль к фронту этой волны составляет с нормалью к поверхности раздела угол а (рис. 1.59). Тогда построение Гюйгенса в согласии с опытными данными дает следующие результаты:

1) нормаль к фронту отраженной волны составляет с угол равный а;

2) нормаль к фронту преломленной волны составляет с угол у, удовлетворяющий соотношению

Заметим, что при переходе волны из одной среды в другую частота колебаний сохраняется, а длина волны изменяется в зависимости от скорости распространения волны:

Выше предполагалось, что волны, распространяющиеся в данной среде, являются плоскими и гармоническими, т. е. в каждой точке среды колеблющаяся величина (которую теперь будем обозначать через изменяется со временем по синусоидальному (или косинусоидальному) закону, а в каждый определенный момент времени эта величина распределена вдоль линии распространения (например, оси по тому же закону. Формула такой волны имеет вид

где скорость распространения волны в среде (фазовая): она показывает скорость перемещения определенной фазы колебаний в данной среде. Допустим, что нас интересует некоторое значение; фазы например Полагая и дифференцируя по времени, получим Очевидно, что любое значение фазы волны распространяется с этой же скоростью.

ДИСПЕРСИЯ

Величина определяется физическими свойствами среды; в некоторых средах она различна для различных частот колебаний или Зависимость скорости распространения волны от частоты колебаний называется дисперсией. Дисперсия имеет важное значение при распространении в среде сложного периодического процесса, содержащего гармонические волны различных частот колебаний.

Допустим, например, что по камертону, имеющему основную частоту колебаний наносятся одинаковые удары молотком через строго определенные промежутки времени Тогда по воздуху вдоль направления оси будет распространяться периодический процесс, описываемый, например, некоторой функцией Эта функция должна зависеть от спектра камертона, т. е. от набора частот, которые он излучает, и от распределения энергии между этими частота (т. е. между гармоническими составляющими спектра). Кроме того, эта функция должна содержать частоту с которой наносятся удары, а также должна зависеть от характера самого удара (продолжительности удара, изменения силы удара со временем) и от быстроты затухания колебаний камертона вследствие потерь на трение и на излучение. На рис. 1.60 схематично показаны значения соответствующие двум последовательным ударам молотка. Условимся каждую фигуру, охваченную на этом рисунке пунктирной линией (содержащую только большие отклонения от положения равновесия), называть волновым импульсом или формой волны (ее называют также волновым пакетом). За время волновой импульс пройдет расстояние I и, следовательно, скорость распространения этого импульса будет равна

Для описания процесса распространения звука, возбужденного таким образом, с учетом физических свойств среды (и, в частности, Дисперсии) целесообразно представить функцию в виде суммы

гармонических слагаемых имеющих различные частоты колебаний

Если среда не обладает дисперсией, то все гармонические волны будут иметь одинаковые фазовые скорости: . Вследствие этого весь волновой импульс (как «сумма» этих волн) будет перемещаться в среде с той же скоростью поэтому «форма волны» по мере ее распространения изменяться не будет. Если же среда обладает дисперсией, т. е. фазовые скорости гармонических волн не одинаковы и зависят от частоты или длины волны X, то «форма» волнового импульса будет по мере в распространения в среде изменяться.

Рис. 1.60

В том случае, когда форма волны (т. е. форма кривой на рис. 1.60, изображающей волну при распространении изменяется не очень сильно (хотя бы на малых расстояниях от источника), скорость волнового импульса (пакета) можно определить по перемещению I точки с наибольшим отклонением, показанному на рис. 1.60. Определенная таким образом скорость и называется групповой скоростью волнового импульса (пакета). Существует связь между фазовой скоростью какой-нибудь из гармонических составляющих импульса и групповой скоростью самого импульса

где производная от фазовой скорости по длине волны — характеризует дисперсионные свойства данной среды. Фазовые скорости гармонических составляющих любого волнового импульса (пакета) в диспергирующей среде могут в зависимости от знака производной быть и больше и меньше групповой скорости и самого импульса (пакета).