энергии тела за конечный промежуток времени или на конечном участке траектории. Допустим, что на тело массой 
действует сила 
величина и направление которой измелется со временем. Разделим время наблюдения 
на такие малые промежутки 
в течение которых эту силу можно было бы с удовлетворительной точностью полагать постоянной (по величине и направлению). Тогда для каждого из этих промежутков времени можно написать 
или 
Рис. 1.9
Суммируя эти соотнощения, получим (при постоянной массе тела)
где 
начальная скорость тела в момент 
Для точности расчета промежутки времени 
должны быть бесконечно малыми, поэтому
Для постоянной по величине и направлению силы это соотношение можно написать и в скалярном виде:
Формула (1.31) позволяет рассчитать изменение скорости тела за время если известно, как изменяется действующая на нее сила с течением времени.
Аналогичным образом можно получить формулы для расчета изменений скорости вдоль каждой из координатных осей:
где 
проекции начальной скорости 
на координатные оси. Если на тело действуют несколько сил (включая силы тяготения, трения, упругости и т. д.), то в эти формулы должна быть подставлена их равнодействующая, т. е. их векторная сумма.
Для иллюстрации формулы (1.31) рассмотрим один пример. Допустим, что на тело действует сила 
всегда перпендикулярная скорости движения и постоянная по величине (с такой силой действует, например, однородное магнитное поле на движущийся электрический заряд). Очевидно, что такая сила будет сообщать телу только
нормальное ускорение и не будет изменять величину скорости, т. е. тело будет двигаться по окружности с постоянной скоростью. Применим к такому движению формулу (1.31) и выберем промежуток времени 
в течение которого тело совершает четверть оборота. Разделим это время на элементарные промежутки 
и проведем суммирование векторов 
(на рис. 1.10, а они обозначены 
Эти векторы будут направлены к центру окружности. Для нахождения их равнодействующей совместим их начала в общую точку, как это показано на рис. 1.10, б. Векторная сумма 
будет вектором I, также направленным к центру окружности. Так как скорость тела, оставаясь постоянной по величине, изменяется по направлению, то изменение скорости за время наблюдения будет равно вектору 
показанному на рис. 1.10, в.
Рис. 1.10
Формула (1.31) утверждает, что равнодействующая всех элементарных векторов 
т. е. 
равна по величине и направлению вектору 
Если тело сделает один оборот, то равнодействующая I будет равна нулю; так как вектор скорости тела при этом вернется к первоначальному направлению, то изменение скорости 
также будет равно нулю.
Произведение массы тела на скорость его движения 
называется импульсом (количеством движения) тела. Формула (1.31) показывает, что изменение импульса тела за время наблюдения равно интегралу 
где 
равнодействующая всех сил, действующих на данное тело.
Воздействие силы на тело можно определить в зависимости не только от времени наблюдения, но и от пути, пройденного движущимся телом. Будем интересоваться изменением скорости только по величине, т. е. выведем формулу, которая показывала бы воздействие силы на тело независимо от формы траектории. Так как величина скорости изменяется только тангенциальной силой, то второй закон механики
перепишем в скалярном виде:
где а — угол между направлениями силы 
и ее тангенциальной составляющей (см. рис. 1.9). Выразим время 
через пройденный путь 
и перепишем это уравнение в виде
Если тело прошло по траектории (любой формы) путь 
то
Произведение силы на пройденный путь и на косинус угла между направлением силы и направлением движения (скорости) называется работой силы на этом участке траектории. Формула (1.33) показывает, что работа, совершаемая силой на некотором конечном участке траектории, равна изменению кинетической энергии тела, к которому эта сила приложена. Разумеется, 
есть равнодействующая всех сил, действующих на данное тело.
Если вдоль траектории (любой формы) сила остается постоянной по величине и направлению (например, при движении тела в поле тяготения Земли по траекториям небольших размеров), то работа этой силы будет равна
где 
проекция пройденного пути на направление силы.
Работа, совершенная переменной силой на элементарном участке пути, может быть записана в виде скалярного произведения векторов силы 
и перемещения 
Нормальная составляющая действующей силы не изменяет численного значения скорости тела и поэтому работы не совершает. Работа совершается только тангенциальной составляющей действующей силы, ибо только она изменяет величину скорости тела. Отметим, что:
1) работа 
а может быть положительной, если 
и отрицательной, если 
с 0. Если сила совершает отрицательную работу, то скорость тела уменьшается: 
2) при горизонтальном движении тела сила тяжести работы не совершает 
3) работа, совершаемая силой тяжести при движении тела в поле тяготения, не зависит от формы траектории, а определяется только разностью высот 
начальной и конечной точек траектории (рис. 1.11). На малом отрезке траектории 
суммарная работа
Здесь предполагается, что высота 
невелика и поэтому сила тяжести остается в процессе движения тела постоянной;
4) если в поле тяготения тело описывает замкнутую траекторию, то суммарная работа силы тяжести равна нулю, так как положительная работа, совершаемая при опускании тела, компенсируется отрицательной работой при подъеме;
5) при движении тела по криволинейной траектории центростремительная сила работы не совершает 
Рис. 1.11
6) работа, совершаемая несколькими силами, приложенными к данному телу, равна работе равнодействующей этих сил, найденной путем их векторного сложения.
Работа и энергия выражаются в СИ в джоулях 
и в СГС - в эргах: 1 джоуль 
Работу силы 
на участке пути 
можно представить как сумму работ, совершаемых компонентами этой силы по осям координат, т. е.
Действительно, если в эту формулу подставить 
также 
и учесть, что 
получим тождество. Формулу (1.34) можно получить также из выражения для работы: 
Мощностью источника энергии (или работы) называется отношение работы 
совершаемой этим источником за время 
времени 
Для конечных промежутков времени это отношение определяет среднюю мощность. Мощность в СИ выражается в ваттах 
Подставим в формулу (1.35) вместо 
произведение 
тогда мощность
В общем случае, когда угол между векторами силы и скорости отличен от нуля, мощность равна скалярному произведению этих векторов:
действующая на тело, разложена на составляющие 
по координатным осям. Однако при решении некоторых задач удобно использовать другое разложение. В § 1 было указано, что полное ускорение тела а целесообразно разложить на два ускорения: тангенциальное 
вызывающее изменение скорости тела только по величине, и нормальное 
вызывающее изменение скорости только по направлению. В связи с этим силу, действующую на тело, также можно разложить на две составляющие:
ориентированную по направлению движения (по касательной к траектории движения), и
перпендикулярную направлению скорости движения (т. е. ориентированную по нормали к траектории).
(которую иногда называют движущей силой) сообщает телу тангенциальное ускорение
сообщает телу нормальное (центростремительное) ускорение
радиус кривизны траектории в данной точке 
На рис. 1.9 показано разложение сил и ускорений на тангенциальную и нормальную составляющие; сила 
используется для расчета изменения величины скорости, а сила 
для расчета радиуса кривизны траектории.
