ТЕМПЕРАТУРА

Понятие температуры в термодинамике и статистической физике является фундаментальным. Однако его строгое определение оказывается сложным и несколько необычным. Ниже мы рассмотрим одно из возможных определений температуры, связанное со статистическим распределением частиц системы по состояниям. Для этого сначала вернемся к термодинамическим системам, состоящим одинаковых частиц, из которых имеют энергию энергию поэтому общая энергия системы равна

где средняя энергия, приходящаяся на одну частицу. Очевидно, что состояние системы не может быть охарактеризовано одним только значением средней энергии; если же дополнительно указать функцию распределения частиц по энергиям:

то описание состояния системы будет более детальным.

У идеального газа температура и давление связываются со средней энергией молекул (см.

где число степеней свободы одной молекулы.

Заметим, что давление и температура газа не зависят от функции распределения молекул по энергиям (скоростям) и не определяют ее вид. Действительно, миниатюрные термометры и манометры, установленные в различных местах объема газа, будут отмечать только среднюю энергию поступательного движения молекул и не могут фиксировать числа молекул, имеющих различные энергии. При одинаковой средней энергии молекул термометры не отличают максвелловского распределения молекул по скоростям от другого, при котором, например, все скорости молекул одинаковые. Поэтому описание состояния термодинамических систем при помощи давления и температуры не является полным и соответствует описанию, при котором задается только средняя энергия молекул; при этом Описании функция распределения молекул по энергиям может иметь различный вид.

Очевидно, что более удобным было бы определение температуры в зависимости от вида функции распределения частиц по энергетическим уровням. В этом случае задание температуры системы означало бы одновременное задание функции распределения и поэтому описание системы было бы более полным. Выше было указано на существование в системе двух противоположных тенденций:

1) упорядочивающей тенденции, обеспечивающей преимущественное заполнение низших уровней энергии, и

2) теплового (хаотического) движения, направленного к равномерному распределению энергии системы между частицами (точнее, между степенями свободы частиц).

При температуре абсолютного нуля будет существовать только первая тенденция и частицы системы окажутся распределенными по состояниям в определенном порядке: не может быть вакансий на низших уровнях, если есть частицы, занимающие

более высокий уровень. Это означает, что энергия системы при абсолютном нуле вовсе не должна быть нулевойона будет равна

т. е. зависит от того распределения частиц по энергетическим уровням, которое устанавливается при Следовательно, и средняя энергия, приходящаяся на одну частицу системы, будет при абсолютном нуле температуры отличной от нуля. Ввиду этого определение понятия температуры через среднюю энергию одной частицы теряет смысл.

Если у изучаемой системы и у термометра (который также является физической системой) частицы размещены по состояниям только в соответствии с «упорядочивающей тенденцией», т. е. если эти оба объекта находятся при температуре абсолютного нуля, то между ними никакого взаимодействия не будет. Если же термометр внести в систему с температурой то между частицами системы и термометра будет происходить взаимодействие (обмен энергиями); распределение частиц по уровням в термометре будет нарушаться до тех пор, пока оно не станет таким же, какое существует в системе. Другими словами, выравнивание температуры представляется как переход к одинаковому характеру распределения частиц по состояниям, т. е. к одинаковому виду функции распределения

При повышении температуры изменяется не только распределение частиц по уровням но и внутренняя энергия самой системы Разность энергии будет пропорциональна температуре и, разумеется, также может быть использована для ее определения. Однако между и температурой не существует простой зависимости. Такая зависимость (и притом линейная) имеется только у идеального газа. Таким образом, для характеристики состояния любой термодинамической системы ее температуру следует связывать только с видом функции распределения частиц системы по уровням энергии.

В частности, например, если в системе устанавливается распределение Максвелла-Больцмана и если установлено, что на уровне с энергией -находится частиц из общего числа то температура определится из соотношения

Для систем, у которых частицы распределены согласно статистикам Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, связь между температурой и видом функции распределения оказывается еще более сложной. Однако в теоретических исследованиях обычно приходится определять не температуру по известной функции распределения, а, наоборот, находить заполнение энергетических уровней по известной (измеренной) температуре.

Определенная таким образом температура может принимать для «квантовых систем» не только положительные, но и отрицательные значения. Отрицательные температуры будут соответствовать такому распределению частиц по энергиям, при котором коэффициенты заполнения верхних уровней больше, чем нижних (например, если заполнены верхние уровни, когда имеются незаполненные низшие уровни).

Связь между температурой и функцией распределения может быть выражена и в более простом виде. Допустим, что в системе имеется частиц с энергией частиц с энергией При переходе от одного значения энергии к другому изменение числа частиц на единичный интервал энергии будет равно Эта величина может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, увеличивается или уменьшается число при переходе к большим энергиям; найденная для всех возможных значений энергии частиц, она является некоторой характеристикой состояния системы (так как связана с функцией распределения частиц по энергиям). Однако числа зависят от размеров системы (от общего числа частиц). Поэтому более объективной (применимой к любым системам) характеристикой будет относительная величина

В статистической физике установлено, что отрицательная величина, которая зависит только от температуры и обратно пропорциональна ей; мы получим осносную формулу статистической физики, если подставим

Постоянная А может быть вычислена из условия, что общее число частиц равно

Однако от температуры зависит также и поведение одной частицы, которая может переходить от одного уровня к другому, получая от других частиц или отдавая им энергию при тепловых взаимодействиях. Допустим, что среднее время пребывания частицы на уровне равно а на уровне равно Величина

будет показывать относительное изменение времени пребывания на уровнях при переходе частицы от малых энергий к большим. Если в системе имеется много частиц то число частиц, находящихся на уровне 8; в данный момент времени, будет пропорционально и времени пребывания на этом уровне, т.е.

Рис. IV.68

Рис. IV.69

Подставляя в (2.43) значение выраженное через мы получим соотношение (2.40).

Таким образом, температура оказалась величиной, показывающей, с какой относительной плотностью заполнены энергетические уровни системы в различных местах спектра: чем выше температура, тем равномернее распределены частицы по уровням энергии. При бесконечно большой температуре т. е. А- одинакова для всех значений энергии. Это соответствует равномерному распределению энергии между частицами данной системы (или между ее степенями свободы, одинаково участвующими в общем обмене энергией). Заметим также, что в формуле (2.40) нет величин, характеризующих вещество, из которого состоит данное тело или система, что означает универсальность введенного таким образом понятия температуры.

Формула (2.40) поясняет также смысл понятия «отрицательная температура»; если при положительной температуре переход к большим энергиям сопровождается уменьшением плотности заполнения уровней то при отрицательных температурах эта плотность увеличивается. На рис. IV.68 показаны графики зависимости от при положительной (линия 1) и отрицательной (линия 3) температурах; прямая 2, параллельная оси абсцисс, соответствует бесконечно большим температурам одинаково для всех значений На рис. IV.69 показана зависимость относительной плотности заполнения уровней от температуры для классического распределения частиц по уровням (2.42). К идеальному газу, у которого температура

связывается с средней кинетической энергией частиц, понятие отрицательной температуры неприменимо.

Величина

называется статистической суммой и является характеристикой системы. В статистической термодинамике эта величина связывается с важнейшими термодинамическими функциями состояния; в частности, функция содержащая внутреннюю энергию и энтропию системы равна

Функция распределения частиц системы по ее энергетическому спектру, которую мы запишем в виде

монотонно убывает при переходе от малых энергий к большим (при ). Однако у некоторых очень важных в физике систем функции распределения (например, молекул по скоростям, см. ч. III, § 9; энергии излучения по спектру, см. ч. IV, § 15, и др.) имеют максимумы при некоторых значениях энергии, зависящих от температуры. Покажем, что наличие таких максимумов не только не противоречит указанному свойству функции но и следует из нее.