§ 3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ЗЕМЛИ

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ. ВЕС ТЕЛА

Закон всемирного тяготения Ньютона (1.28) написан для точечных тел. Для расчета силы тяготения между телами, имеющими большие размеры, необходимо представить их в виде совокупности точечных тел. Сначала определяют векторную сумму сил тяготения, действующих на каждую частицу первого тела со стороны всех частиц второго тела; затем векторно складывают силы, приложенные ко всем частицам первого тела. Так находят величину и точку приложения силы тяготения действующей на первое тело со стороны второго тела. Аналогичный расчет определит силу и точку ее приложения для второго тела. Силы всегда равны по величине и направлены вдоль линии, соединяющей точки их приложения.

Рис. 1.12

При расчете силы притяжения к Земле точечного тела массой находящегося на высоте (рис. 1.12), следует учесть симметричное расположение массы Земли относительно линии, соединяющей тело с центром Земли. Вследствие этого равнодействующая всех сил, приложенных к телу, будет направлена вертикально вниз и равна

где

Величина есть ускорение, которое сообщается телу силой притяжения к Земле. Это ускорение зависит от высоты и не зависит от массы и вещества тела.

Расчет силы взаимного притяжения шарообразных тел, у которых массы распределены равномерно по объему (сферически симметрично), приводит к той же формуле (1.28), причем означает расстояние между центрами шаров. Полагая Землю таким шаром, можно силу притяжения к ней тел рассчитать по формуле

где масса Земли; расстояние от тела до центра Земли; гравитационная постоянная, равная " Точка приложения силы притяжения данного тела к Земле называется центром тяжести этого тела.

Наличие тяготения между телами приводит к представлению о гравитационном поле (как особой форме материи), в пределах которого на каждое тело действует сила, прямо

пропорциональная массе этого тела. В разделе «Электричество и магнетизм» будет указано на существование и других полей — электрических и магнитных. Гравитационное, электрическое и магнитное поля представляют собой разновидности силовых полей; на частицы, помещенные в каждой точке этих полей, действуют силы, прямопропорциональные определенному физическому свойству этих частиц: массе, электрическому заряду и т. п. Земля окружена гравитационным полем (или полем тяготения), в котором на тела действуют силы, пропорциональные их массам.

В каждой точке поля можно определить отношение силы, действующей на точечное тело, к массе этого тела; это отношение не зависит от вещества и массы тела и равно ускорению, сообщаемому силой тяготения в данной точке йоля:

Потенциалом данной точки доля тяготения называется отношение работы которую нужно затратить для переноса точечного тела массой из данной точки в бесконечность, к массе этого тела; для точки, расположенной на расстоянии от центра Земли (вне ее объема), работа переноса и потенциал поля тяготения равны:

Работа и потенциал получились отрицательными, так как силы тяготения препятствуют этому перемещению

Работа переноса точечной массы из одной точки поля тяготения 1 в другую 2 равна

В гравитационном поле работа переноса не зависит от формы и размеров траектории, по которой происходит перемещение, а определяется только потенциалами начальной и конечной точек этой траектории. В таких полях (называемых потенциальными) можно провести эквипотенциальные поверхности, все точки которых имеют одинаковый потенциал. При перемещении точечного тела по эквипотенциальной поверхности силы тяготения, согласно формуле (1.37), работы не совершают. Эта означает, что силы тяготения всегда ориентированы перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям. У шаровых тел с равномерным распределением массы по объему эквипотенциальные поверхности в поле тяготения — сферические, а силы тяготения направлены по радиусам к центру шара.

Рассмотрим тело, покоящееся на поверхности Земли; на это тело действуют три силы (рис. 1.13, а): сила притяжения к Земле (по закону тяготения, сила Архимеда и сила приложенная к телу со стороны опоры, на которой это тело лежит (или к которой оно подвешено). Так как тело участвует в суточном вращении Земли с угловой скоростью со, то необходимая центростремительная сила

должна быть равна равнодействующей всех упомянутых выше сил, т. е.

Силы всегда направлены по вертикали; сила же будет иметь вертикальное направление только на экваторе (на полюсе Поэтому численное значение силы для тел, покоящихся на поверхности Земли вблизи экватора, будет равно а на полюсе

Вместо силы с которой опора действует на тело, будем рассматривать силу с которой тело действует на опору.

Рис. 1.13

Согласно третьему закону механики, сила численно равна и имеет противоположное направление. В частности, для тел, покоящихся на экваторе, пренебрегая силой Архимеда, мы получим

Эта формула показывает, что сила тяготения для покоящегося тела может быть разложена на две составляющие: одна составляющая, равная сообщает телу центростремительное ускорение а другая составляющая, равная действует на опору и деформирует ее.

Сила называется весом тела. Так как то т. е. вес покоящегося тела можно приравнять силе, с которой это тело притягивается к Земле. Однако если бы угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси была очень велика, то вес тела оказался бы значительно меньше силы притяжения к Земле. Например, при вес тела на экваторе был бы равен нулю. Заметим, что вследствие суточного вращения Земли ускорение свободного падения тел на Земле несколько меньше ускорения силы тяготения

Очевидно, имеет смысл различать:

1) силу притяжения тел к Земле по закону всемирного тяготения. Эта сила тяготения не зависит от вращения Земли и от того, покоится или движется данное тело в поле тяготения Земли. Сила тяготения сообщает телам ускорение

2) силу тяжести разность между силой тяготения и центростремительной силой:

Наблюдаемое на Земле ускорение свободного падения сообщается телам силой тяжести. Лишь пренебрегая по сравнению с можно полагать, что ускорение свободного падения равно ускорению силы тяготения. На полюсе на экваторе разность между этими силами имеет максимальное значение;

3) вес тела сила, с которой тело действует на опоры, препятствующие его свободному падению. Для покоящегося тела вес равен силе тяжести: Пренебрегая можно полагать, что для покоящегося тела

Допустим теперь, что тело движется по поверхности Земли с постоянной по величине скоростью, причем траектория движения имеет сложный профиль (рис. Будем рассматривать только те точки траектории, в которых скорость движения тела направлена горизонтально; центростремительной силой, обусловленной вращением Земли, будем пренебрегать. Тогда на тело будут действовать две силы: сила тяжести и сила приложенная со стороны несколько деформированной поверхности Земли, по которой движется тело. На горизонтальном участке пути ускорение движения равно нулю, поэтому При движении тела по вогнутому участку пути сила будет больше силы так как центростремительное ускорение сообщается силой Следовательно, вес тела, численно равный также будет больше силы тяжести:

Если же тело движется по выпуклому участку пути, то центростремительное ускорение сообщается силой Разность между и центростремительной силой будет действовать на поверхность и вызовет ее реакцию В этом случае

При больших и малых можно получить например, при нормальное ускорение направленное вверх, равно ускорению силы тяжести, следовательно, вес тела и сила будут равны нулю. Если же то тело оторвется от поверхности Земли, так как сила тяжести будет недостаточна для того, чтобы обеспечить движение тела с данной скоростью по дуге радиуса Сила тяжести сообщает ускорение, равное поэтому тело, имеющее очень большую скорость и удалившееся от поверхности Земли будет описывать траекторию, в каждой точке которой полное ускорение равно

Итак, вес тела появляется в том случае, если в поле тяготения тело вынуждено двигаться с ускорением, отличным Это возможно, если на тело кроме силы тяготения действуют и другие силы. Вес тела есть та сила, с которой данное тело действует на другие тела, препятствующие его свободному движению в поле тяготения. Если же

тело движется только под действием силы тяготения, то оно является невесомым (при этом траектория движения может быть любой: прямолинейной, параболической, эллиптической или круговой). При любом состоянии движения (весомом или невесомом) сила тяготения действует всегда.

Для того чтобы в поле тяготения Земли данное тело двигалось с ускорением а, отличным от к нему должна быть приложена со стороны других тел дополнительная сила удовлетворяющая условию

Тогда вес тела (т. е. сила, с которой данное тело действует на другие тела) будет равен

Если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории и в любом направлении, то и тело будет невесомым. Например, невесомы все тела, находящиеся внутри кабины космических кораблей, свободно движущихся в безвоздушном пространстве. Если же это движение не свободно, например существует сопротивление атмосферы или работают реактивные двигатели, установленные на корабле, то ускорение тел будет отличаться от

Физиологическое ощущение весомости для человека обусловлено совместным действием распределенных и сосредоточенных сил. Например, если человек стоит на опоре, то распределенная по объему его тела сила тяжести уравновешивается сосредоточенной силой, приложенной к его ногам со стороны опоры. При этом тело несколько деформируется и соответствующие мышцы оказываются напряженными. При свободном движении тела в поле тяготения (по любой траектории) сосредоточенные силы со стороны опор отсутствуют; распределенная же сила тяжести никакой деформации организма не вызывает, так как все части тела движутся с одинаковым ускорением, равным Это особое состояние организма и называется состоянием невесомости.