§ 18. НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВОКРУГ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА И ПРОВОДНИКОВ С ТОКАМИ

Допустим, что по прямолинейному бесконечно длинному проводнику очень малого сечения течет ток Магнитное поле вокруг проводника можно полагать прямо пропорциональным току Проведем через проводник две бесконечные плоскости I и II, составляющие между собой угол а в плоскости, перпендикулярной проводнику, проведем окружность некоторого радиуса (рис. III. 49), так что Так как магнитное поле вокруг проводника имеет цилиндрическую симметрию, то величина будет показывать, какая часть всего магнитного поля заключена между плоскостями Обратим внимание на величину

Очевидно, что ее можно рассматривать как некоторую характеристику магнитного поля расстоянии от бесконечно длинного прямолинейного проводника с током Будем полагать ее аектором, направленным по касательной к окружности (в соответствии с правилом правого винта, ввинчиваемого по направлению тока в проводнике; рис. III. 49). Однако в общем случае проводник может иметь любую форму; поэтому для расчета вектора в каждой точке магнитного поля вокруг проводника произвольной формы необходимо найти некоторый общий метод. Таким методом может быть следующий. Будем полагать,

что вектор в данной точке магнитного поля вокруг проводника с током слагается из элементарных векторов соответствующих бесконечно малым участкам проводника d (рис. III. 50, а), причем величина должна определяться по формуле

а направление — по правилу правого винта в зависимости от направления тока.

Рис. III.49

Рис. III.50

Формула (3.2) подобрана таким образом, чтобы она для бесконечно длинного прямолинейного проводника приводила к формуле (3.1). Действительно (рис. III. 50, а),

Произведение рассматривается как вектор, ориентированный по направлению тока, и называется элементом тока. Вектор называется напряженностью магнитного поля в данной точке.

Утверждение, что расчет напряженности магнитного поля в любой точке вокруг элемента тока должен производиться по формуле (3.2), называется законом Био - Савара — Лапласа. Дополнительное указание, что напряженность магнитного поля в любой точке вокруг проводника произвольной формы должна определяться путем суммирования называется принципом суперпозиции. Если имеется несколько проводников различной формы и с различными токами и если

есть напряженности поля в данной точке, создаваемые каждым из этих проводников в отдельности (при отсутствии других), то, согласно принципу суперпозиции, суммарная напряженность поля в этой точке равна

Укажем на одно важное следствие из закона Био-Савара-Лапласа, которое облегчает расчеты магнитных полей. Допустим, что по проводнику произвольной формы (рис. III. 51) течет ток По закону Био-Савара-Лапласа, напряженность магнитного поля создаваемого этим током в точке можно рассчитать, вычислив интеграл по замкнутому контуру тока:

Рис. III.51

Проведем теперь в магнитном поле некоторую воображаемую замкнутую линию (любой формы и размеров) и разделим ее на элементарные участки Для каждого участка составим произведение угол между направлением и касательной к линии) и найдем их сумму вдоль всей, линии т. е. вычислим интеграл Расчет, который мы не приводим ввиду его сложности, дает весьма простой результат — для линии обхода любой формы и размеров:

Если изменить направление тока в проводнике, то в каждой точке поля вектор изменит свое направление на обратное, косинусы углов будут иметь противоположный знак и интеграл сделается отрицательным. Знак этого интеграла, изменится также и при перемене направления обхода по линии вследствие чего изменятся направления касательных Ввиду этого направление обхода и направление тока должны быть связаны между собой правилом знаков, а именно, если вращатьправый винт по выбранному нами направлению обхода линии то его перемещение должно соответствовать положительному направлению тока

Полученный результат (3.5) не зависит ни от формы контура с током, ни от формы замкнутой линии Если линия охватывает несколько проводников с токами то, согласно принципу суперпозиции, интеграл (3.5) будет равен алгебраической сумме этих токов. Если линия охватывает один и тот же ток раз, то интеграл (3.5) равен наконец, если не охватывает тока, то интеграл (3.5) оказывается равным нулю, т. е. токи, протекающие за пределами контура в правую часть формулы (3.5) не входят.

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности вдоль данной замкнутой линии обхода, Утверждение,

что эта циркуляция равна алгебраической сумме сил токов, охватываемых линией обхода,

называется теоремой о циркуляции напряженности магнитного поля или законом полного тока. Этим законом можно воспользоваться для расчета напряженности магнитного поля, причем выбирается удобный контур обхода; в частности, удобно производить обход вдоль такой линии, в каждой точке которой Такие линии называются силовыми линиями магнитного поля.

Рис. III.52

Магнитное поле называется однородным, если во всех точках поля напряженность одинакова и по величине и по направлению; поэтому поле вокруг прямолинейного проводника с током является неоднородным. При графическом изображении геометрических характеристик магнитного поля пользуются силовыми линиями, вдоль которых напряженность поля ориентирована по касательным. Силовые линии вокруг бесконечно длинного прямолинейного проводника с током имеют вид концентрических окружностей (рис. III. 52). Силовым линиям придается направление, соответствующее направлению напряженности поля; очевидно, что в однородном магнитном поле силовые линии будут параллельными прямыми. Условились, что число силовых линий, проводимых через единицу площади (перпендикулярной этим линиям), должно быть численно равно величине напряженности поля в этом месте. Если в магнитном поле выбрана площадка а а есть угол между нормалью к этой площадке и вектором то произведение

будет «числом» силовых линий, проведенных через эту площадку (это число называют также потоком вектора напряженности через данную площадку).

Приведем некоторые расчеты магнитных полей:

1) магнитное поле движущегося заряда. Полагая, что в элементе тока содержится электронов, имеющих скорости упорядоченного движения о, найдем напряженность поля создаваемую в данной точке одним движущимся электроном. Так как сила тока заряд электрона), то

2) напряженность магнитного поля в центре плоского кругового тока. В формуле (3.4) будет одинаково для всех элементов

тока, расположенных по окружности (рис. III.53), , а все векторы направлены в одну сторону, поэтому вместо векторного сложения можно произвести интегрирование:

Для «плоской катушки», имеющей витков одинакового радиуса,

При расчете напряженности поля в точке лежащей на оси кругового тока на расстоянии от центра, необходимо учесть направления Расчет, который мы не приводим, показывает, что суммарная напряженность направлена вдоль оси и равна (рис. II 1.53)

3) напряженность Магнитного поля внутри длинного соленоида с током. Воспользуемся законом полного тока; выберем линию обхода так, чтобы участок 1—2 (рис. II 1.54) проходил вдоль силовой линии внутри соленоида, участки 2—3 и 4—1 были бы на всем своем протяжении перпендикулярны силовым линиям, а участок 3—4 совпадал бы с силовой линией, проходящей достаточно далеко от соленоида, где напряженность поля очень мала (по сравнению с напряженностью поля внутри соленоида).

Рис. III.53

Рис. III.54

Длину участка 1—2, охватывающего витков, выберем такой, чтобы на протяжении этого участка величину напряженности можно было считать одинаковой; для этого плотность обмотки, т. е. число витков на единицу длины должна быть достаточно большой,

Циркуляция вектора по контуру 1—2—3—4 равна Второй и четвертый интегралы равны нулю ввиду перпендикулярности а третьим интегралом пренебрегаем ввиду малости вне соленоида, Тогда На основании формулы (3.6) получаем:

Результат расчета не зависит от того, в каком месте сечения соленоида проходит участок 1—2, следовательно, в любой точке этого сечения напряженность поля будет одинаковой. Таким образом, внутри очень длинного соленоида с плотной обмоткой магнитное поле можно полагать однородным (вблизи концов соленоида поле не является

однородным). Иногда в качестве линии обхода берут всю силовую линию соленоида и тогда формула

(где I — длина соленоида; полное число витков) даст среднюю напряженность магнитного поля внутри соленоида;

4) напряженность магнитного поля внутри толстых проводников с током. Для расчета напряженности на расстоянии от оси проводника выберем линию обхода в виде окружности радиуса (рис. III.55) с центром на оси проводника. Если проводник прямолинейный и бесконечно длинный, то вдоль эгой линии обхода напряженность магнитного поля будет везде одинакова и в каждой точке направлена по касательной Тогда Эта линия охватывает площадь Если плотность тока в различных местах сечения проводника одинакова и равна то суммарный ток, проходящий через следовательно, охватываемый линией обхода, равен Тогда на основании формулы (3.6)

Так как то

Таким образом, на оси проводника напряженность поля а по мере удаления от оси растет прямо пропорционально расстоянию вплоть до боковой поверхности проводника. В точках, лежащих за пределами объема проводника, применение соотношения (3.6) приводит к формуле (3,1), согласно которой напряженность магнитного поля обратно пропорциональна расстоянию от оси проводника.

Рис. III.55

Выше рассматривались магнитные поля вокруг потоков электрических зарядов — внутри проводников или в вакууме; пользуясь законом Био-Савара-Лапласа, можно рассчитать напряженность в любой точке их полей, т. е. найти функции Однако магнитные поля создаются также и связанными зарядами (электронами и ионами), движущимися в атомах и молекулах вещества. Если электрон описывает замкнутую траекторию, то он создает вокруг себя магнитное поле, которое аналогично магнитному полю проводника такой же формы и размеров, как и траектория, с силой тока в нем где число оборотов в секунду по этой орбите показывает, сколько раз в секунду электрон проходит через одну и ту же точку орбиты, поэтому не есть количество электричества, проходящее через эту точку в секунду, т. е. сила тока).

Токи, вызванные движением зарядов в атомах и молекулах вещества, называются молекулярными. Так как напряженности полей складываются векторно, то при беспорядочной ориентации молекулярных токов какого-нибудь тела общее поле вокруг этого тела будет практически отсутствовать. В телах, имеющих вокруг себя магнитное поле (постоянные магниты, электромагниты), молекулярные токи имеют некоторую упорядоченность; однако расчет общего магнитного поля этих токов затруднен, так как неизвестны ни силы этих токов, ни их расположение и ориентации в объеме тел; кроме

того, форма и размеры намагниченных тел могут быть различными.

Поэтому при изучении магнитного поля вокруг намагниченных тел прибегают к некоторым упрощенным приемам (см. § 25, 26).