ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СИСТЕМЫ

Допустим, что энергетический спектр системы является очень «плотным», т. е. состоит из очень большого числа очень близко расположенных уровней. Разделим такой спектр на равные участки Де, охватывающие несколько уровней. Так как эти уровни очень близки друг к другу, то число частиц на каждом из них будет почти одинаковым и равным поэтому суммарное число частиц на всех уровнях будет равно (индекс опускаем):

Число уровней на единичном интервале энергии может быть различным в различных местах спектра; в пределе, когда уровни расположены бесконечно близко друг к другу (т. е. когда энергетический спектр является непрерывным), это отношение можно представить в виде функции от энергии:

Тогда формулу (2.46) можно переписать в виде

Здесь важно подчеркнуть, что в этой формуле означает не энергию отдельного уровня, асреднюю энергию, взятую в пределах участка число частиц не на одном (взятом внутри уровне, а на всех уровнях, энергии которых лежат в пределах . В этом заключается существенное различие между функциями распределения и При переходе от малых значений энергии к большим функция всегда убывает, тогда как поведение определяется произведением двух функций: и Если у какой-нибудь системы есть возрастающая функция, то будет иметь максимум при некотором значении

Переход от систем с дискретным энергетическим спектром к системам с непрерывным спектром можно представить как постепенное увеличение плотности, с какой расположены уровни в энергетическом спектре. Однако в пределе, когда энергетический спектр становится непрерывным, функция теряет свою наглядную трактовку как число уровней в единичном интервале энергии, но остается весьма важной характеристикой энергетического спектра системы. Кроме того,

изменяется также и «статистическая сумма» (2.44), которая состоит из конечных величин и при увеличении числа слагаемых делается бесконечно большой. Ввиду этого, согласно (2.42), становится бесконечно малым и число частиц на каждом определенном уровне; в пределе, когда число уровней бесконечно большое, равно нулю. Этот результат имеет важное значение при вероятностной трактовке статистических явлений как одно из основных положений (см. также § 10):

вероятность того, что какая-либо определенная («меченная») частица системы в данный момент времени имеет определенное значение энергии (т. е. находится на определенном уровне спектра), равна нулю; равна нулю также вероятность определенного размещения частиц системы по ее энергетическому спектру.

Ввиду этого имеет смысл находить только вероятность того, что данная частица имеет энергию, лежащую в пределах Так как эта вероятность, очевидно, будет пропорциональна ширине интервала кроме того, может быть различна в различных местах спектра, то ее записывают в виде

Тогда число частиц, имеющих эти значения энергии, будет равно

Таким образом, функция вероятности совпадает с функцией в формуле распределения частиц по непрерывному спектру (2.47). Ввиду того что статистическая сумма для непрерывных спектров теряет смысл, в формуле (2.47) постоянная В (которая у дискретных спектров равнялась должна быть вычислена заново:

Величина

называется статистическим интегралом и является характеристикой систем с непрерывным энергетическим спектром. Так же как и у систем с дискретным спектром, величина связывается с термодинамическими функциями.