ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Рассмотрим теперь некоторые особенности физических систем, обусловленные корпускулярно-волновыми свойствами частиц, входящих в их состав. Простейшей будет система, состоящая из одной частицы, движущейся между двумя непроницаемыми для нее плоскостями (например, непреодолимыми для нее потенциальными барьерами), расстояние между которыми равно (рис. IV.62,а).

Рис. IV.62

Для простоты допустим, что частица движется вдоль линии, перпендикулярной этим плоскостям (ось Далее будем полагать, что между отражающими плоскостями поля нет (а за пределами участка потенциал поля равен бесконечности).

По классическим представлениям в этих условиях частица будет перемещаться с постоянной скоростью от одной плоскости к другой и обратно. Важно подчеркнуть, что это движение возможно при любой скорости, т. е. на величину скорости и кинетической энергии частицы никаких ограничений не накладывается. Если для характеристики такого движения воспользоваться понятием вероятности, то можно утверждать, что по классическим представлениям вероятность нахождения частицы на ее траектории распределена равномерно.

Перейдем к описанию движения частииы в этих условиях при помощи уравнения Шредингера. Решение этого уравнения должно дать распределение вероятности нахождения частицы, обусловленное ее волновыми свойствами. Прежде всего заметим, за пределами области лежащей между отражающими плоскостями, значение волновой функции будет равно нулю, а внутри этой области — отлично от нуля. Ввиду непрерывности этой функции на самих плоскостях значение также должно быть нулевым, следовательно,

Таким образом, плоская монохроматическая волна «сопровождающая частицу», должна отражаться от плоскостей, имея на концах отрезка нулевые значения.

Ввиду этого на длине должно укладываться целое число дебройлевских полуволн, т. е. между и К возможны только следующие соотношения:

где Это означает, что движение частицы между отражающими плоскостями возможно только с определенной длиной волны а следовательно, и с определенной скоростью

При других скоростях движение частицы между этими плоскостями невозможно (разумеется, такое категорическое утверждение связано с идеализацией задачи: реальные отражающие потенциальные барьеры всегда имеют некоторую протяженность).

Таким образом, между рассматриваемыми плоскостями (т. е. отражающими барьерами бесконечно малой протяженности) частица должна иметь одно из следующих значений кинетической энергии:

Разрешаемые значения энергии зависят от массы частицы и расстояния между отражающими плоскостями. Если в этой области окажется частица с другим (не «разрешенным») значением энергии, то она, очевидно, будет вынуждена излучать избыток энергии и довести свою энергию до ближайшего значения, соответствующего возможному движению, Этот вывод означает, что промежуточные значения энергии частицы, отличающиеся от дозволенных, соответствуют неустойчивым (неравновесным, нестационарным) состояниям частицы. Формула (2 28) для энергии устойчивых движений частицы может быть выведена также путем решения уравнения Шредингера с использованием свойства непрерывности и однозначности волновой функции и тех значений, которые она по условиям задачи имеет на границах области

Анализ формулы (2.28) для энергии частицы, вынужденной двигаться между двумя отражающими плоскостями, показывает, что спектр дозволенных значений этой энергии существенно зависит от расстояния Если велико, то соседние значения энергии в этом спектре будут расположены очень близко друг от друга:

Например, если электрон вынужден существовать в области то имеет порядок При больших соответствующих обычным размерам измерительной аппаратуры, в пределах которой движется электрон, спектр возможных значений его энергии будет почти непрерывным и можно утверждать, что электрон в этих приборах может перемещаться с любыми скоростями. Если же размеры области, в которой вынужден существовать электрон, очень малы и имеют, например, порядок размеров атома то будет порядка и спектр будет явно линейчатым. Заметим, между прочим, что предполагаемое отсутствие электронов внутри атомных ядер может быть обусловлено еще и тем, что для размеров ядра величины достигают очень больших значений, обеспечивающих их вылет из пределов ядра.

Если потенциальный барьер на границах участка изменяется на величину конечную, т. е. если за пределами этого участка потенциал V не равен бесконечности, а имеет некоторое конечное значение, то на этих границах возможен «туннельный эффект». Вероятность обнаружения частицы за пределами участка будет отличаться от нуля, причем, как показывают расчеты, квадрат модуля волновой функции весьма быстро (экспоненциально) убывает с увеличением расстояния от плоскостей (рис. IV.62. б). При наличии большого числа частиц, движущихся между пластинками, некоторая часть из них будет «просачиваться» через барьеры и выйдет за пределы области

В более общем случае потенциальная энергия может быть непрерывной функцией от координаты частицы, плавно возрастающей по мере удаления от середины

(или какой-нибудь другой точки) участка Если, например функция имеет такой же вид, как и у линейного гармонического осциллятора где коэффициент возвращающей силы угловая частота колебаний), то решение уравнения Шредингера, имеющего для данной задачи вид

приводит к выводу, что «дозволенные» (стационарные) значения энергии частицы должны определяться формулой, отличной от (2.28):

Эта формула показывает, что, во-первых, гармонический осциллятор должен иметь дискретный спектр значений энергии во-вторых, он не может иметь энергию, равную нулю. Наименьшее значение энергии осциллятора равно