§ 20. СЛОЖЕНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

В некоторых системах колеблющееся тело может одновременно участвовать в двух независимых колебательных движениях. Такая система показана, например, на рис. 1.47, а, где точечная масса может колебаться в плоскости чертежа, как обычный маятник с длиной а в перпендикулярном направлении — как маятник с длиной 12. Другая система изображена на рис. 1.47, б, где колебания в направлениях происходят с различными частотами, если пружины имеют неодинаковые коэффициенты упругости. Кроме того, можно заставить тело участвовать одновременно в нескольких вынужденных колебаниях, если к этому телу приложить одновременно ряд периодических сил с различными направлениями, амплитудами и частотами.

Рис. 1.47

В связи с этим возникает необходимость найти результирующее движение тела, участвующего в нескольких колебательных движениях. Ниже будут рассмотрены некоторые простые случаи сложения гармонических колебаний.

1. Сложение двух колебаний одного направления.

а) Частоты и фазы одинаковые, амплитуды различны:

Амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

б) Частоты и амплитуды одинаковые, фазы отличаются на

Амплитуда результирующего колебания меньше суммы амплитуд складываемых колебаний; в частности, если то т. е. два колебания с противоположными фазами взаимно друг друга «гасят» и тело будет покоиться.

в) Амплитуды одинаковые, начальные фазы равны нулю, частоты различные:

Так как меньше, чем — то можно считать, что результирующее колебание происходит с частотой, равной полусумме частот складываемых колебаний, но амплитуда меняется со временем с частотой, равной их полуразности; график таких движений показан на рис. 1.48; их называют биениями.

Рис. 1.48

Рис. 1.49

2. Сложение колебаний, происходящих в двух перпендикулярных направлениях.

Обозначим смещение тела в одном направлении через х, а в перпендикулярном направлении — через у. Уравнение траектории результирующего движения может быть представлено в виде уравнения линии на плоскости (рис. 1.49). Рассмотрим результирующее движение при различных соотношениях между смещениями, фазами и частотами.

а) Частоты и фазы одинаковые, амплитуды отличаются:

Расстояние от колеблющегося тела до точки О будет изменяться со временем по формуле

Результирующее колебание происходит вдоль прямой, составляющей с осью некоторый угол тангенс которого равен отношению Такое сложение можно наблюдать, если по телу, колеблющемуся в одном направлении, нанести удар в перпендикулярном направлении в момент, когда тело проходит точку О равновесного состояния.

б) Частоты одинаковые, фазы отличаются на амплитуды могут быть различными:

т. е. в результате сложения таких колебаний тело в плоскости описывает эллипс, полуоси которого равны соответственно амплитудам складываемых колебаний. Если то тело описывает окружность. Такое сложение можно осуществить, если, например, по колеблющемуся телу маятника нанести удар в направлении, перпендикулярном его движению, в момент, когда тело находится в одном из крайних положений.

Рис. 1.50

Рис. 1.51

в) Частоты разные, но кратные между собой, например В этом случае колеблющееся тело описывает сложные кривые (фигуры Лиссажу), форма которых определяется отношением частот складывающихся колебаний, их амплитудами и разностью фаз между ними Некоторые из них приведены на рис. 1.50.

Важное значение в физике имеет сложение колебаний одинакового направления с кратными частотами На рис. 1.51 приведено сложение двух колебаний: Период результирующего колебания (изображенного сплошной линией) оказывается равным К этим двум колебаниям можно добавить другие колебания с частотами, кратными

Форма крийой, т. е. вид функции изображающей результирующее колебание, будет зависеть от амплитуд складываемых гармонических колебаний. Следовательно, подбирая эти амплитуды, можно получить результирующее периодическое движение с периодом и с самым различным характером изменения х со временем.

На рис. 1.51 показано сложение колебаний, имеющих нулевые начальные фазы. В общем случае складываемые колебания с кратными частотами могут иметь не только различные амплитуды, но и различные начальные фазы, например

Следовательно, они могут представлять собою комбинацию синусоидальных и косинусоидальных колебаний:

Подбирая такие колебания с различными амплитудами и фазами, можно получить результирующее колебание с любым характером изменения х со временем. Очевидно, что будет верным и обратное утверждение: если нам известно, что колеблющееся тело совершает сложное периодическое движение (с периодом изображаемое некоторой функцией то это движение можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами со, амплитудами и фазами

где

Это утверждение является физическим применением математической теоремы Фурье о возможности разложения любой периодической функции х от некоторого параметра в тригонометрический ряд и о способах вычисления постоянных для каждого члена этого ряда. Число членов ряда Фурье определяется видом периодической функции в частности, для функции изображенной на рис. 1.51, ряд Фурье содержит только два члена. В некоторых случаях аналитический вид функции может быть столь сложным, что заменяющий ее ряд Фурье должен содержать очень большое число членов. Если этот ряд сходится очень быстро, то в расчетах можно ограничиться только несколькими первыми членами, отбрасывая остальные, как относительно малые по величине.

Представление сложного периодического процесса в виде суммы отдельных гармонических колебаний называется разложением этого процесса на гармонические составляющие. Совокупность составных частей сложного периодического процесса с их частотами и амплитудами колебаний называется спектром этого процесса. Физически такое разложение в спектр можно осуществить и изучить при помощи, например, измерительной аппаратуры, содержащей систему, собственную частоту которой можно плавно изменять. Если изучаемое сложное колебание является внешним воздействием на эту систему, то при в системе будут наблюдаться резонансные

максимумы вынужденных колебаний. Таким образом, определение спектра изучаемого колебания сводится к измерению частот и амплитуд резонансных колебаний в измерительном аппарате. Наименьшая частота в спектре данного сложного колебания называется основной частотой; частоты называются обертонами.

Так как энергия каждого отдельного гармонического колебания, согласно формуле (4.18), пропорциональна квадрату амплитуды этого колебания, то спектр сложного колебания бледует характеризовать не только набором частот составных гармонических колебаний, но и энергией, приходящейся на каждую из них.

Используя аналитически более удобный комплексный способ описания гармонических колебаний (см. формулу (4,8)), можно разложение сложного колебательного процесса в спектр представить также и в виде ряда:

где в общем случае пробегает все целочисленные значения от до Для некоторых функций этот ряд может содержать небольшое число членов.

Оказывая воздействие на колеблющееся тело, можно вызвать изменение со временем амплитуды или частоты колебаний по какому-нибудь закону (в частности, периодическому):

Такие колебания называются модулированными; модуляция называется амплитудной, если изменяется при постоянной частоте колебаний со, и частотной, если изменяется частота колебаний при постоянной амплитуде. Модуляция колебаний необходима, например, при радиопередачах; колебания, вызванные в микрофоне голосом диктора или звучанием музыкальных инструментов, изменяют амплитуду или частоту колебаний тока в антенне радиопередатчика. В приемниках производятся демодуляция колебаний (т. е. выделение тех воздействий, которые производили модуляцию), усиление их и обратное превращение в звуковые колебания.

Модулированные колебания также могут быть разложены в спектр, содержащий основную частоту и обертоны. Состав этого спектра — набор частот и распределение энергии между ними — является характеристикой данного способа модуляции.