Глава 2. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 6. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА; МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛ
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные («точечные») части массами 
описывают окружности различных радиусов 
и имеют различные линейные скорости 
Однако угловая скорость вращения со всех этих точек (если тело при вращении не деформируется) одинакова, т. е.
Кинетическую энергию вращающегося тела 
подсчитаем как сумму кинетических энергий его составных элементарных частей:
Сумма произведений масс элементарных («точечных») частей тела на квадраты их расстояний до определенной оси называется моментом инерции тела относительно этой оси:
(выражается в 
или 
Более точно
где интегрирование производится по всему объему тела. Тогда выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела принимает простой вид:
Момент инерции тела зависит от распределения массы рассматриваемого тела относительно заданной оси (от формы и размеров тела
и от расположения оси, относительно которой определяется момент инерции).
Для тел, имеющих сложную форму, момент инерции можно определить путем измерений. Например, если измерить энергию 
необходимую для сообщения телу определенной угловой скорости 
относительно интересующей нас оси, то по формуле (2.4) можно вычислить момент инерции тела относительно этой оси.
Для практических применений важное значение имеет момент инерции тела относительно оси, проходящей через особую точку — центр масс этого тела. Выберем некоторую прямоугольную координатную систему и обозначим через 
координаты элементарных масс 
этого тела.
Рис. 1.17
По определению, центром масс данного тела называют точку» координаты которой равны (рис. 1.17, а):
где 
масса всего тела, а интегрирование производится по всему объему тела. Произведения 
называют статическими моментами массы 
относительно координатных осей. В формулах (2.5) сумма этих моментов для каждой оси приравнивается статическому моменту всей массы тела, если полагать ее сосредоточенной в одной точке — в центре масс. Если начало координат О совместить с центром масс тела С, то 
Прежде всего покажем, что центр тяжести тела совпадает с центром масс. По определению, центр тяжести данного тела есть точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, приложенных к отдельным частям этого тела. Следовательно, относительно каждой из координатных осей момент силы тяжести 
всего тела следует приравнять сумме моментов сил тяжести 
отдельных частей тела, т. е.
Подставим значения сил 
сократив на 
и заменив суммы на интегралы, получим соотношения (2.5).
Допустим, что нам известен момент инерции 
о данного тела относительно оси 00, проходящей через центр масс С этого тела. Найдем
момент инерции 
этого же тела относительно оси 
параллельной 00 и отстоящей от нее на расстоянии а. Как показано на рис. 1.17, б, расстояние 
элементарной массы 
до оси 
можно выразить через расстояние 
до оси 
:
Подставив в (2.3), получим
Ориентируя координатную ось 
вдоль оси 00 и расположив ось 
в плоскости, проходящей через 
можем написать;
Так как мы предположили, что центр масс тела лежит на оси 
, то 
следовательно, последний интеграл в формуле (2.6) будет равен нулю. Таким образом, из (2.6) получается важный результат:
т. е. момент инерции тела отно сительно любой оси равен моменту инерции относительно оси, параллельной заданноц и проходящей через центр масс этого тела., плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями (теорема Штейнера).
Рис. 1.18
Приведем несколько формул для вычисления моментов инерции тел правильной формы относительно осей симметрии (проходящих через центр масс):
1) момент инерции точечного тела с массой 
находящегося на расстоянии 
от заданной оси,
2) момент инерции однородного сплошного шара относительно оси, проходящей через центр шара,
(R - радиус шара);
3) моменты инерции однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии 
(рис. 1.18, а) соответственно равны:
Если 
(тонкий диск), 
если же 
(тонкий стержень), то 
;
можно рассчитать как разность 
есть масса полого цилиндра. Если цилиндр очень тонкий, то 
и тогда 
