Глава 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§ 27. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР. НЕЗАТУХАЮЩИЕ И ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

Электромагнитные колебания в контурах (периодические изменения силы тока и связанных с ней величин) обусловлены электрическими и магнитными свойствами этих контуров. Рассмотрим электрический колебательный контур, т. е. цепь, состоящую из катушки с индуктивностью и конденсатора, обладающего емкостью С (рис. III.82); сопротивление контура обозначим через Если зарядить конденсатор до некоторой разности потенциалов сообщив его обкладками заряды и затем замкнуть ключ К, то конденсатор начнет разряжаться через катушку и появившийся в цепи электрический ток при малом будет очень быстро нарастать. Изменяющийся со временем электрический ток вызовет на концах катушки разность потенциалов, равную э. д. с. самоиндукции

и имеющую знак, противоположный знаку, разности потенциалов на обкладках конденсатора. Это означает, что внутри проводников возбуждается напряженность электрического поля которая направлена против напряженности создаваемой зарядами конденсатора. Вследствие этого скорость возрастания тока в проводниках будет постепенно ослабляться, т. е. (имеющая положительный знак) уменьшается до тех пор, пока конденсатор не разрядится совсем. В этот момент сила тока в цепи достигает наибольшего значения. В дальнейшем движущиеся заряды (электроны) начнут скапливаться на другой обкладке конденсатора, что вызовет появление в проводниках напряженности направленной против движения зарядов и уменьшающей силу тока в цепи. Ослабление тока приведет к появлению э. д. с. самоиндукции и индуцированного поля направленного против и поддерживающего ток в цепи. Отрицательное существует до тех пор, пока сила тока в цепи не станет равной нулю; тогда снова начнется разрядка конденсатора через катушку, и процесс повторится с обратным направлением тока.

Рис. III.82

Электрический ток (энергия этого тока) распространяется по проводникам с некоторой конечной скоростью. Поэтому движение зарядов, которое началось у обкладок конденсатора в какой-нибудь

момент времени, дойдет до катушки, спустя время зависящее от скорости распространения тока и длины проводников. Это означает, что сила тока в различных местах цепи должна быть различной. Изменения напряжения на обкладках конденсатора воспринимаются катушкой не в тот же момент, а с некоторым запозданием; точно так же э. д. с. самоиндукции, возбужденная в катушке в данный момент, окажет воздействие на конденсатор через некоторый промежуток времени. Однако, если размеры контура (длина соединительных проводов и длина обмотки катушки) малы, а быстрота изменения силы тока невелика, то можно допустить, что сила тока в данный момент времени одинакова в любом месте контура.

При этих условиях можно использовать второе правило Кирхгофа для замкнутого контура: алгебраическая сумма всех э. д. с. и падений напряжения в любой момент времени равна нулю. Это правило является точным только для постоянных токов; если же сила тока в контуре изменяется, то применение этого правила даст тем большую ошибку, чем быстрее изменяется ток и чем больше размеры контура.

Так как э. д. с. самоиндукции имеет знак, противоположный знаку разности потенциалов на пластинках конденсатора, то правило Кирхгофа запишется в виде

Допустим сначала, что омическое сопротивление проводников, из которых состоит контур, исчезающе мало, т. е. и выделением тепла можно пренебрегать. Кроме того, предположим, что в контуре не происходит вообще никаких потерь электрической энергии, например: нет потерь энергии в диэлектрике, находящемся между обкладками конденсатора, при его периодической поляризации; нет потерь в сердечнике катушки при его перемагничивании и, наконец, нет потерь на излучение электромагнитной энергии в окружающее пространство. При условии, что значительно меньше формула (4.2) может быть переписана в виде

Это уравнение при постоянных аналогично связи между ускорением колеблющегося тела и смещением х от положения равновесия при гармоническом колебательном движении:

Решая дифференциальное уравнение (4.3), получим следующий закон изменения зарядов на обкладках конденсатора:

причем угловая частота и период колебаний равны:

Сила тока в контуре, разность потенциалов и напряженность электрического поля между обкладками конденсатора, напряженность магнитного поля внутри катушки также будут изменяться со временем по гармоническому закону:

Таким образом, при отсутствии омического сопротивления и каких-либо потерь энергии, электромагнитные колебания в контуре будут гармоническими с периодом, зависящим только от параметров контура Тогда энергия колебаний контура, равная сумме энергии электрического поля конденсатора и магвитного поля катушки

с течением времени не будет изменяться. Колебания в контуре, как и в механических системах, означают периодическое превращение одного вида энергии в другой и обратно.

Если омическим сопротивлением контура пренебречь нельзя, то следует решить уравнение (4.2), которое перепишем в виде

Чем меньше сопротивление тем меньше теряется энергия колебаний за период и тем ближе колебания к гармоническим, тем меньше отличие уравнения (4.7) от уравнения (4.3). Наоборот, если очень велико, то возможно, что за время, даже меньшее одного периода, почти вся энергия превратится в теплоту и колебаний вообще не будет.

Заметим, что в уравнении (4.7) вместе с потерей энергии на омическом сопротивлении, следовало бы учесть также и излучение контуром электромагнитной энергий в окружающее пространство; однако, для контуров, у которых электрическое и магнитное поля локализованы в очень малом объеме, это излучение чрезвычайно слабое. Кроме того, должны быть учтены потери в диэлектрике конденсатора и в сердечнике катушки. Предположим, что они или отсутствуют, или чрезвычайно слабые.

Допустим, параметры контура остаются во время колебаний постоянными например, могло бы изменяться от нагревания проводников при прохождении тока). Тогда период колебания, коэффициент и декремент затухания (см. ч. 1, § 18) также остаются постоянными; решая уравнение (4.7), можно показать, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону

Из уравнений (4.7) и (4.8) можно получить следующие значения для коэффициента затухания угловой частоты и периоды колебаний:

Таким образом, наличие омического сопротивления увеличивает период колебаний в контуре. При период колебаний делается бесконечно большим; при колебания отсутствуют; происходит так называемый апериодический разряд, т. е. постепенная (без колебаний) разрядка конденсатора через катушку. При период колебаний приближается к значению (4.5).

В рассмотренном выше колебательном контуре предполагалось, что вся емкость С системы сосредоточена в конденсаторе, а вся индуктивность в катушке; емкостью и индуктивностью соединительных проводов, а также емкостью обмотки катушки при этом пренебрегают; при этих условиях частота собственных колебаний определяется формулой тем точнее, чем меньше емкость за пределами конденсатора и индуктивность за пределами катушки.

Рис. III.83

Для получения больших частот собственных колебаний необходимо взять контур с малыми значениями и тогда емкость и индуктивность соединительных проводов может иметь заметное значение. Для очень больших частот надобность в конденсаторах и катушках отпадает, так как емкость и индуктивность линейных проводников оказываются достаточными. Например, системы из двух прямолинейных проводников, изображенные на рис. II 1.83, являются электрическими колебательными контурами с большой (в зависимости от длины проводников) частотой собственных колебаний. Если зарядить проводники разноименным электричеством и затем замкнуть ключ, то в системе начнется движение зарядов, т. е. появится электрический ток и связанное с ним магнитное поле. Так как проводники обладают индуктивностью, то в них возбуждается также и э. д. с. индукции. В контуре происходят электромагнитные колебания, т. е. периодические превращения энергии электрического поля между проводниками в энергию магнитного поля вокруг проводников и обратно.

Заметим, что такие открытые контуры, у которых электрическое и магнитное поля занимают большой объем пространства, излучают гораздо больше энергии, чем закрытые контуры, у которых поля локализованы в очень малых объемах внутри конденсаторов и катушек.