§ 8. СВОБОДНЫЕ ОСИ. БАЛАНСИРОВКА РОТОРОВ. ГИРОСКОПЫ

Рассмотрим поведение тела, которое может изменять свое расположение относительно оси вращения. В простейшем случае допустим, что система из двух тел соединенных стержнем (массой которого будем пока пренебрегать), приводится во вращение при помощи скручиваемой струны или резиновой нити (рис. 1.21, а).

Рис. 1.21

Для того чтобы тела описывали окружности, к ним должны быть приложены центростремительные силы Однако эти силы могут быть вызваны только в результате взаимодействия между телами и стержнем. Обозначим через равные по величине силы, приложенные к телам со стороны деформированного (растянутого) стержня. Разложим эти силы на составляющие: силы перпендикулярные оси вращения и сообщающие телам центростремительные ускорения, и силы и параллельные оси вращения и вызывающие поворот системы вокруг точки Силы и будут существовать до тех пор, пока система не примет положения, показанного на рис. в этом состоянии и поворачивающий момент отсутствует. Если

путем кратковременного внешнего воздействия, например удара по одному из тел, вывести систему из эгого состояния, то она (уже без внешнего воздействия) сновт вернется в это состояние. Таким образом, состояние вращающейся системы, показанное на рис 1.21, б, оказывается устойчивым. Заметим, что в этом состоянии векторная сумма центростремительных сил равна нулю и они не имеют момента; кроме того, момент инерции системы относительно оси вращения имеет наибольшее значение.

Допустим теперь, что массы тел и не равны. При вращении эта система также переходит в устойчивое состояние, при котором поворачивающие силы и и их моменты отсутствуют (рис. 1.21, в). Так как стержень действует на тела с одинаковой силой, которая в установившемся положении равна центростремительным силам, то из равенства

угловая скорость вращения) следует, что т. е. тела будут описывать окружности различных радиусов. Ввиду этого ось вращения будет проходить через точку и если стержень закреплен не в этой точке, а в точке то струна будет описывать конус. Заметим, что точка оказывается центром масс нашей системы,

Рис. 1.22

Подобное поведение наблюдается и у других вращающихся тел, имеющих возможность деформироваться и поворачиваться. На рис. 1.22 показаны устойчивые положения стержня, цепочки и обруча или диска при достаточно больших угловых скоростях вращения (момент силы тяжести должен уравновешиваться моментом поворачивающих сил). Устойчивость этих состояний можно показать на примере вращающейся цепочки; если ее освободить от нити, то она падает в воздухе (или катится, подобно обручу, по поверхности демонстрационного стола), сохраняя свою форму и ориентировку оси вращения в пространстве.

Итак, во вращающейся системе существует тенденция (вызванная только внутренними силами) к переходу в устойчивое состояние, при котором:

1) центр масс системй лежит на оси вращения;

2) момент инерции тела относительно оси вращения (проходящей через центр масс) имеет наибольшее значение;

3) силы, действующие со стороны связей на каждую составную часть системы, равны по величине и направлению центростремительным силам, необходимым для вращения этих частей.

Таким образом, среди осей, проходящих через центр масс данного тела или механической системы, можно выделить оси, относительно которых вращение является устойчивым; их называют свободными осями. У твердых тел произвольной формы среди множества осей, проходящих через центр масс, существуют три «особые» оси: относительно одной из них момент инерции тела имеет наибольшее, относительно второй — наименьшее и относительно третьей — промежуточное значение. Эти оси взаимно перпендикулярны и называются главными осями инерции. Наиболее устойчивое вращение соответствует оси с наибольшим моментом инерции,

В связи с этим рассмотрим балансировку вращающихся роторов (гидравлических и паровых турбин, дйнамомашин, электромоторов, насосов и т. п.). В идеальном случае центр масс ротора должен лежать на оси вращения (фиксируемой подшипниками), а главная ось инерции ротора должна совпадать с осью вращения. Допустим, что вследствие технологической неточности изготовления ротора и его подшипников центр масс С ротора оказался смещенным относительно оси вращения на некоторую малую величину но главная ось инерции параллельна оси вращения.

Рис. 1.23

В этом случае, для того чтобы центр масс ротора вращался с угловой скоростью к нему должна быть приложена центростремительная сила где масса ротора. Направление этой силы будет изменяться вслед за изменением расположения центра масс в пространстве, т. е. вектор будет вращаться в плоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр масс. Чтобы уравновесить эту силу, на опорах возбуждаются реакции равные по величине:

(направление векторов изменяется вслед за изменением направления силы При больших и эти реакции могут быть значительными, а вызываемые ими вибрации — недопустимыми. Балансировка такого ротора (т. е. совмещение его главной оси с осью вращения) достигается либо обработкой тех частей ротора (цапф), которые входят в подшипники и определяют ось вращения, либо прикреплением к поверхности ротора некоторых «корректирующих» масс, которые вызвали бы параллельное смещение главной оси инерции ротора до ее совпадения с осью вращения.

Другой тип неуравновешенности ротора появляется, когда его главная ось инерции составляет с осью вращения 00 некоторый малый угол у. На рис. 1.23, б показаны две элементарные (почти точечные) массы симметрично расположенные относительно оси короткого ротора длина, радиус ротора). Центростремительные силы, действующие на эти массы, появляются результате

взаимодействия этих масс с соседними частями ротора; в роторе возникают внутренние напряжения и деформации. Части ротора, связанные с массой прилагают к ней центростремительную силу расстояние от этой массы до оси вращения). Согласно третьему закону механики, со стороны массы на остальную часть ротора действует такая же по величине, но противоположная по направлению сила Нам нужно выяснить суммарное действие на ротор всех этих элементарных сил Из рис. 1.23, б видно, что силы, приложенные к двум симметрично расположенным массам имеют поворачивающий момент; суммируя эти моменты, мы получим общий момент, стремящийся повернуть ротор в сторону уменьшения угла у. Этот момент должен уравновешиваться моментом сил реакций возбуждаемых на подшипниках. Заметим, что в данном случае тенденция к уменьшению угла соответствует указанной выше тенденции к совмещению главной оси инерции (с максимальным моментом инерции) с осью вращения.

Однако если ротор «длинный» то суммарный момент сил будет стремиться Повернуть ротор в сторону увеличения угла у. На рис. 1.23, в показаны четыре симметрично расположенные элементарные массы и силы с которыми эти массы действуют -на остальные части ротора. Массы оказались расположенными дальше от оси вращения, чем массы поэтому силы и их момент, стремящиеся йовернуть ротор в сторону увеличения угла у, оказываются больше сил и и их момента, поворачивающего ротор в противоположном направлении. Однако у длинного ротора осью с наибольшим моментом инерции является не поэтому увеличение угла у По-прежнему означает тенденцию к совмещению главной оси инерции с осью вращения.

Рис. 1.24

Неуравновешенности, вызванные существованием угла у, также можно устранить (или ослабить) добавлением к ротору «корректирующих» масс, которые создают момент, направленный против суммарного поворачивающего момента, вызванного силами Этим будут ослаблены силы реакции на опорах.

Важное применение в технике получили гироскопы — приборы, основной частью которых являются массивные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью вокруг оси с максимальным моментом инерции. Конструкции гироскопов зависят от их назначения. Выясним их основное свойство, воспользовавшись рис. 1.24. Допустим, что в начальный момент времени к оси гироскопа, имеющего угловую скорость вращения и момент инерции приложена пара внешних сил момент которых (1 — плечо пары) стремится повернуть ось вращения вокруг перпендикулярной ей оси (рис. 1.24, а). Этот внешний момент будет сообщать гироскопу угловое ускорение вектор которого ориентирован по оси Через некоторое Время под действием момента гироскоп получит угловую скорость вращения вокруг оси равную Для того чтобы найти результирующую угловую скорость вращения гироскопа (по величине и направлению), необходимо сложить векторы и Оба эти вектора лежат в плоскости, проходящей через в этой же плоскости будет лежать и вектор результирующей скорости . Однако, для того чтобы к моменту гироскоп вращался в соответствии с вектором угловой скорости , ось гироскопа за это время должна повернуться вокруг оси на угол а.

Итак, если бы гироскоп не вращался, то внешний момент привел бы его во вращение относительно если же гироскоп вращается, то тот же момент вызовет

поворот гироскопа вокруг оси Это явление называется гироскопическим эффектом. Если ось гироскопа закреплена подшипниками (рис. 1.24, б), то внешний момент вызовет появление реакций опор При отсутствии вращения векторы этих сил лежали бы в плоскости, проведенной через ось перпендикулярно вектору вращающегося же гироскопа силы лежат в одной плоскости с вектором и осью Весьма важно, что величина реакций опор R (называемых гироскопическими силами) пропорциональна угловой скорости вращения гироскопа. Эти силы появляются, например, в подшипниках паровых турбин, установленных на кораблях, при изменении курса плавания и т. п.

Гироскопический эффект используется для навигационных целей. Гироскоп содержит массивное тело, которому сообщено вращение с очень большим числом оборотов. Реакция этого прибора на всякое изменение направления оси вращения, соответствующим образом усиленная, может передаваться на рулевое устройство корабля или самолета.

Рис. 1.25

Выше предполагалось, что при повороте гироскопа под действием внешнего момента направление самого вектора в пространстве не изменялось и все время оставалось ориентированным вдоль оси Поэтому как только ось гироскопа повернется на угол и будет совпадать с осью векторы со, будут по направлению совпадать и действие внешнего момента будет заключаться только в изменении величины со. Однако в некоторых случаях при повороте оси гироскопа вместе с ним поворачивается и направление внешнего момента Тогда вектор углового ускорения 8 все время будет оставаться перпендикулярным вектору со угловой скорости вращения гироскопа. В этом случае величина со останется постоянной, а его ориентация в пространстве будет изменяться с некоторой угловой скоростью (при будет постоянной также и Например, ось демонстрационного гироскопа (рис. 1.25), имеющего одну точку опоры, под действием момента силы тяжести описывает конус вокруг вертикали. Такое движение гироскопа называется прецессией.