§ 12. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ

Согласно выражению (3.12), потенциальная энергия системы есть максимальная положительная работа, которую могут совершить действующие в системе внутренние силы.

Рассчитаем потенциальную энергию сжатой или растянутой упругой пружины; внутренние силы действующие на концах пружины, направлены против внешних деформирующих сил и по величине пропорциональны деформации (рис. 1.27, а):

где коэффициент упругости пружины. Вычислим работу, которую могут совершать внутренние силы при переходе пружины из деформированного состояния в нормальное (недеформированное); эта работа всегда положительная. При изменении длины пружины на очень малую величину силы можно считать почти постоянными, а их работа будет равна Графически эта работа изображается площадкой, заштрихованной на рис. 1.27, б. Полная работа внутренних сил при переходе в нормальное состояние представлена, очевидно, площадью треугольника Эта работа и есть потенциальная энергия деформированной пружины

Рис. 1.27

Для скрученной спиральной пружины аналогичный расчет дает где коэффициент упругости на кручение, а — угол скручивания. Заметим, что в состоянии с нулевой потенциальной энергией внутренние силы равны нулю.

Для упругодеформированного сплошного тела (или среды) можно рассчитать потенциальную энергию, содержащуюся в единице объема. Применим формулу к стержню длиной I и сечением Тогда будет относительным удлинением тела под действием силы нормальным механическим напряжением. Воспользуемся законом Гука (см. формулу и выразим потенциальную энергию всего стержня (см. (3.14)) в зависимости или от относительного

удлинения или от напряжения

где объем тела; модуль продольной упругости.

Таким образом, величина

есть энергия упругой деформации, (растяжения или сжатия), содержащаяся в единице объема тела или упругой среды. Для данной среды с определенным модулем продольной упругости энергия в единице объема прямо пропорциональна квадрату относительной деформации или квадрату напряжения а. При данной относительной деформации эта энергия пропорциональна модулю продольной упругости. Аналогичные выражения получаются и для других видов упругих деформаций.

Рис. 1.28

Рассчитаем потенциальную энергию двух тел с массами притягивающихся друг к другу по закону тяготения. Силы взаимного притяжения будут совершать положительную работу, если тела приближаются, и отрицательную работу, если тела удаляются. Допустим, что в начальном состоянии эти тела находятся на расстоянии а при сближении наименьшее возможное расстояние между ними (при соприкосновении) равно (рис. 1.28). Тогда положительная работа, которая совершается силами тяготения при этом сближении, может быть подсчитана как сумма элементарных работ т. е.

(знак минус перед интегралом появился вследствие того, что при уменьшении расстояния между телами величина как разность между новым и начальным значениями отрицательная, в то время как работа положительная, так как перемещение тел происходит в направлении действия сил). В частном случае, когда расстояния велики, а их разность мала, как это имеет место при падении тела на поверхность Земли с небольшой высоты, можно произведение заменить на и тогда

Работу, которую может при своем падении совершить тело весом расположенное на высоте называют потенциальной энергией этого тела в поле тяготения Земли По мере приближения

тела к Земле сила тяжести совершает положительную работу и потенциальная энергия тела уменьшается.

Однако если потенциальную энергию системы из двух притягивающихся тел приравнивать работе рассчитанной по формуле (3.15), то потенциальная энергия системы будет равна нулю при Но наименьшее расстояние между телами не всегда есть определенная величина. Это обстоятельство побудило выбрать другое, более определенное состояние системы, при котором ее потенциальная энергия равна нулю; а именно условились считать, что потенциальная энергия любой системы равна нулю, если ее составные части удалены друг от друга на бесконечно большие расстояния; при этом силы взаимодействия между телами равны нулю.

Из этого условия следует, что потенциальная энергия системы притягивающихся тел должна быть отрицательной величиной (а системы отталкивающихся тел — положительной величиной). Действительно, если из начального состояния, когда расстояние между телами бесконечно большое и тела начнут сближаться, например до расстояния то силы притяжения совершают положительную работу и поэтому потенциальная энергия должна уменьшаться и, следовательно, станет меньше нуля. Таким образом,

Следовательно,

Для системы, состоящей из двух взаимодействующих электрических зарядов и потенциальная энергия выражается такой же формулой:

где постоянная величина. Если заряды имеют различные знаки, то потенциальная энергия получается отрицательной; для системы зарядов одинакового знака потенциальная энергия — положительная величина. На рис. 1.29 приведены графики функции показывающие изменение потенциальной энергии системы притягивающихся (1) и отталкивающихся (2) тел с изменением расстояния между ними.

Для более сложной системы, содержащей, например, взаимодействующих тел, потенциальная энергия будет представлять собою функцию от координат всех этих тел: Как и в случае простой системы из двух тел, эта функция подбирается таким образом, чтобы при изменении координат взаимодействующих тел работа сил взаимодействия была равна Для двух тел следовательно,

Для сложной системы, состоящей из многих взаимодействующих между собой тел, сила, действующая на тело в направлении,

например, оси равна частной производной:

Допустим, что при графическом изображении функции для некоторой физической системы начало координат О помещено внутри системы, а ось ориентирована в каком-нибудь интересующем нас направлении (рис. 1.30).

Рис. 1.29

Рис. 1.30

Кривая показывает, как изменяется потенциальнай энергия системы, если одна частица перемещается вдоль оси а остальные остаются неподвижными. Если резко возрастает при удалении одной из частиц системы от остальных, то говорят, что система окружена потенциальным барьером.

Рис. 1.31

Заметим, что величина и направление силы, действующей на частицу, определяются величиной и знаком тангенса угла наклона касательной к кривой

где коэффициент, определяемый масштабами для Например, в точке А сила имеет отрицательный знак, т. е. она направлена к точке О и будет препятствовать удалению частицы из системы; в точке В сила имеет противоположное направление.

При удалении от точки О потенциальная энергия будет возрастать, следовательно, кинетическая энергия частицы должна убывать. Если в точке О кинетическая энергия частицы была равна то она

сделается равной нулю в точке А. Здесь частица остановится, после чего действующие на нее силы сообщат ей обратное движение; частица не сможет преодолеть потенциальный барьер и удалиться из системы. Это будет возможно только при достаточно большой кинетической энергии, например равной

В сложных системах взаимодействующих тел могут образоваться также потенциальные ямы (рис. 1.31). Если частица оказалась на участке то при перемещении в любом направлении потенциальная энергия возрастает, следовательно, кинетическая энергия убывает (сила, действующая на частицу, направлена к точке С). Поэтому если кинетическая энергия частицы внутри «ямы» мала, то она не сможет покинуть ее и будет совершать колебательное движение в окрестности точки С.