Индексами 
обозначены начальные значения. Дополнительные геометрические соотношения имеют вид
При деформировании свободной пружины 
Компоненты кривизны
Внутренние сидрвые факторы
Внутренние и внешние силовые факторы связаны соотношениями 
При 
системы (1) и (2) можно упростить, принимая 
- равными нулю; для круглого сечения 
При таких предложениях линейную систему (1) многократно решали [5, 19, 17, 22], главным образом, для определения спектра частот и форм колебаний.
Система (1) может быть исходной для получения уравненйй малых колебаний эквивалентного стержня. Для этого необходимо перейти от системы координат 
к системе 
а виток принять за тор (плоское жесткое кольцо), все точки которого движутся одинаково. Тогда можно рассмотреть независимые продольные, крутильные и поперечные колебания тора, а также колебания кольца; во всех случаях 
Продольные колебания: 
Справедливы формулы
Крутильные колебания: 
Справедливы формулы
Поперечные колебания. В плоскости 
выбираем характерную точку тора, например, 
рис. 1). Тогда 
Для растянутой пружины следует подставить 
Заменив 
на 
получим уравнения, соответствующие высокой (сдвиговой) серии частот.
Колебания плоского кругового кольца 
описываются уравнениями в своей плоскости
в продольном направлении
Если 
т. е. если плоское кольцо свободно от действия предварительных сил и моментов, тополучается система уравнений
Из уравнений (7) и (8) следует, что в спектре колебаний винтовой пружины имеются элементы продольных, крутильных и поперечных колебаний стержня, а также кольцевые формы.
имеет координаты — длину дуги 
и полярный угол 
На рисунке 
вращающаяся система координат (нормаль, бинормаль, касательная); 
неподвижная система; 
компоненты дополнительных упругих сил и моментов; 
компоненты перемещений и углов поворота жесткого сечения; 
проекции приращений кривизны на подвижные осн.
