5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ДИСКА С ЛОПАТКАМИ
Расчетная схема. Диск с лопатками с точки зрения строительной механики относится к классу дискретно-континуальных систем. При расчете таких систем производится континуализация набора лопаток. Воздействие лопаток на диск представляется в виде сил 
и моментов 
распределенных вдоль окружности Диска радиуса
Амплитудные значения сил и моментов связаны с амплитудными значениями перемещений и углов поворота следующими зависимостями:
Множитель 
и равенствах (40) переводит воздействия от 
лопаток в распределенные по ободу силы и моменты (на единицу длины).
Жесткие лопатки. При использовании в равенстве (11) одной координатной функции 
на основании (9), (14), (21) и (40) имеем
где
При заделке диска по внутреннему контуру можно принять
В общем случае следует принять
Расчет проводится при различных 
и выбирается то значение 
которое обеспечивает минимальную частоту колебаний по формуле (41). В приближенных расчетах можно принимать 
Для расчета диск и лопатки разбивают по радиусу на ряд расчетных сечений (обычно число сечений 10—50), при численном интегрировании используют метод трапеций. Расчет проводят для различных значений числа узловых диаметров 
Формы колебаний дисков с большим числом узловых диаметров 
обычно не проявляются.
Упругие лопатки. Если частота совместных колебаний диска с жесткими лопатками близка с одной из частот колебаний лопатки, заделанной в корневом сечении, то расчетная схема должна учитывать упругость лопаток.
Полная потенциальная энергия на основании (9) и 
Так как амплитудный прогиб диска
то из условия 
получаем систему однородных уравнений
где элементы матрицы
Частоты колебания диска с лопатками находят из условия равенства нулю Детерминанта матрицы уравнения
Практический интерес представляет низшая частота колебаний, соответствующая (при данном числе узловых диаметров) колебаниям с одной узловой окружностью. Обычно для отыскания корней уравнения (49) вычисляют значения 
задаваясь различными 
и прослеживают перемену знака функции.
Приближенное значение корня по двум значениям 
определяется из равенства
Формула (50) обеспечивает достаточную точность, если 
а значения 
близкие.
Лопатки с бандажными связями. Рассматриваются лопатки, связанные круговой бандажной связью. В качестве расчетной схемы для бандажа принимается криволинейный стержень (кольцо), обладающий изгибной и крутильной жесткостями (рис. 10).
Рис. 10
Динамические жесткости лопаток определяют с учетом взаимодействия с круговым кольцом. В сечении лопатки, через которое проходит бандаж, возникают силы и момент, линейно зависящие от смещений и угла поворота. Эта зависимость в матричной форме имеет вид
где
нормальная и перерезывающие силы соответственно; 
изгибающий момент; 
соответствующие этим силам и моменту смещения и угол поворота; 
знак транспонирования.
Ненулевые элементы матрицы динамических жесткостей определяются следующими равенствами [42, 69]:
где 
радиус срединной поверхности бандажного кольца; 
модули упругости первого и второго рода; 
площадь, осевые и полярный моменты инерции сечения кольца.
В большинстве практических расчетов массу бандажа считают присоединенной к лопатке и учитывают только статическую жесткость связей.
Приближенные оценки влияния кругового бандажа. В первой расчетной схеме не учитывается жесткость бандажных связей и бандаж рассматривается как присоединенная масса. По расчету получаются нижние оценки частот колебаний системы.
Во второй расчетной схеме бандаж считается абсолютно жестким, что соответствует запрещению смещений по окружности бандажа. По расчету получаются верхние оценки частот колебаний системы.
