2. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Зубчатая пара. Наибольшую сложность при динамических расчетах зубчатых зацеплений представляет оценка уровня динамических напряжений, возникающих в элементах передачи. Поэтому при расчетном определении динамических напряжений в зубчатых колесах следует выбирать наиболее точную, хотя и возможно сложную, расчетную динамическую модель зубчатого колеса.

В таких ответственных случаях динамическую модель зубчатого колеса следует рассматривать в виде сплошной среды. Решение задачи о динамическом нагружении зуба в этом случае можно получить на ЭЦВМ одним из численных методов решения динамических задач теории упругости, например динамическим вариантом метода конечных элементов [15].

Этот динамический расчет следует производить только для простейшей зубчатой пары, и целью его является уточненное определение динамических напряжений

бьях колес. Поэтому выполнять его необходимо только в ответственных зубчатых парах, работающих в экстремальных условиях, когда ставится задача обеспечить прочность зубьев без повышения массы и габаритов передачи.

Пример использования метода конечного элемента для динамического расчета зубчатого колеса (число зубьев модуль угол зацепления высота головки зуба высота ножки зуба толщина радиус галтели ширина зуба приведен в работе 127).

Экспериментальные исследования, выполненные на короткой консольной пластинке, имитирующей зуб колеса при нагружении ее ударным импульсом, показали, что по методу конечного элемента получаются удовлетворительные результаты как для формы колебаний, так и для величины деформации. Использование для расчетного определения динамических деформаций метода собственных форм колебаний пластинки дает значительное расхождение с экспериментальными данными.

В высокоскоростных зубчатых парах возможно возбуждение колебаний зубьев колес. В таких случаях зубчатые колеса могут быть представлены в виде твердых тел, посаженных на несущие валы, зубья же колес можно представить в виде коротких консольных балок, жестко или упруго соединенных с ободом зубчатого колеса. Таким путем можно учесть как возможные формы возбуждаемых колебаний в зубчатой паре, так и динамические напряжения в зубьях зубчатых колес.

Уравнения движения зубчатых колес в этом случае следует записывать в виде

где моменты инерции ведущего и ведомого колес; входной и выходной крутящие моменты; радиусы основных окружностей ведущего и ведомого колес; динамическая нагрузка в зацеплении; угловые скорости колес.

Смещения зацепляющихся колес измеренные по линии зацепления, могут быть определены из (1) в предположении, что за период удара скорости зубчатых колес и крутящие моменты на валах остаются неизменными, т. е.

где начальные угловые скорости колес.

Прогиб зуба, обусловленный колебаниями его как консольной балки, можно нанти из решения дифференциального уравнения

где жесткость зуба-балки на изгиб; масса единицы длины стержня; момент инерции единицы длины стержня относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости колебаний; дельта-функция Дирака; координата точки приложения силы

Для упрощения решения уравнения (3) применительно к колебаниям зубьев колес рекомендуется пренебрегать инерцией вращения и принимать последнее слагаемое в левод уравнения (3) равным нулю [26]. Однако это упрощение при Учете, что поперечные и продольные размеры балки, заменяющей зуб, есть величины порядка, является достаточно произвольным, поэтому при уточненных

исследованиях динамики зубчатых передач следует пользоваться непосредственно уравнением (3).

Решение уравнения (3) при следует искать в виде разложения по нормальным формам:

в котором искомая динамическая нагрузка находится под знаком интеграла [26, 28].

Сближение соударяющихся зубьев, связанное с контактной деформацией, в случае начального линейчатого касания может быть записано в виде [2]

где постоянные, определяемые упругими и геометрическими параметрами контактирующих зубьев.

Тогда, с учетом (2), (4) и (5), уравнение для определения динамической нагрузки в соответствии с теорией удара по Герцу примет вид

Для решения уравнения (6) на ЭЦВМ предлагается метод численного интегрирования, при котором период колебаний разделен на равных частей и в пределах каждой части динамическая нагрузка принята неизменной [26]. Учитывая нелинейный характер связи между рекомендуется метод последовательных приближений для нахождения [26].

Рис. 1

Расчеты показывают, что учет колебаний зуба как балки только по первой форме дает отклонение от точного решения с учетом высших форм колебаний зуба-балки на 1,5%. Это позволяет при подобных расчетах учитывать лишь колебания зуба-балки по первой форме и переходить от модели зуба с распределенными параметрами к модели с сосредоточенными параметрами.

В зубчатых передачах (и в первую очередь в передачах с прямыми зубьями) имеет место периодическое изменение жесткости зубьев по фазе зацепления, связанное с тем, что в передаче крутящего момента в зависимости от фазы зацепления принимает участие разное число зубьев. Например, для прямозубых зубчатых колес характер изменения жесткости С зубьев по фазе зацепления имеет вид, показанный на рис. 1, где период зубцовой частоты, коэффициент перекрытия передачи. В этом случае колебания зубчатых колес описываются дифференциальным уравнением вида

где относительное движение колес, измеренное вдоль линии зацепления; приведенная к линии зацепления масса колес; переменная по времени жесткость зубьев; возмущающая сила, действующая в зацеплении.

В связи со сложностью решения уравнения (7) следует ограничиваться определением зон неустойчивости для однородного уравнения после сведения уравнения (7) к хорошо изученному уравнению Матье или же использовать аналоговую вычислительную технику [20, 7]. При этом следует иметь в виду, что даже при больших значениях резонансные явления в системе (7) в случае возникают при частотах где частота свободных колебаний системы, [7, с. 94].

Параметрические явления при вынужденных колебаниях косозубых зубчатых также можно изучать на АВМ сведением пары колес (рис. 2) к системе с сосредоточенными параметрами [14, с. Динамическая модель зубчатой пары должна стгывать поперечные и крутильные колебания колес; система дифференциальных уравнений, описывающих эти колебания колес, имеет вид

где деформация зубчатого зацепления; массы и моменты инерции колес; жесткость опор; переменная во времени жесткость зацепления; функция силового возбуждения колебаний; коэффициенты демпфирования колебаний в опорах колес и в зацеплении.

Выполненные на АВМ исследования динамических процессов в зубчатой паре с периодическим изменением жесткости зубьев по фазе зацепления показывают, что на уровень вибраций влияют как параметры силового возбуждения колебаний, так и фазовый сдвиг между возмущающей силой, действующей в зацеплении, и функцией жесткости зубьев [14].

Рис. 2

Переборный редуктор. Динамическая модель переборного редуктора в случае, когда зубчатые колеса представляются в виде твердых тел, сводится к многомассовой системе, расчет которой с использованием ЭЦВМ не вызывает принципиальных сложностей. Однако для изучения особенностей процессов, происходящих в редукторах, целесообразно отдельно рассмотреть поведение каждой зубчатой пары, заменив связи, наложенные на зубчатые колеса сопряженными с ними деталями, динамическими жесткостями.

В тех случаях, когда между деталями существует слабая упругая связь, такое выделение зубчатой пары с заменой динамической жесткости упругой связи ее статической жесткостью не приводит к заметным погрешностям [9, 13]. Однако отнесение упругой связи к слабой требует полного изучения всей динамической модели Редуктора. Поэтому целесообразно применять геометрическую интерпретацию колебаний зубчатой пары, поскольку анализ аналитического решения задачи о колебаниях даже простейшего переборного редуктора чрезвычайно затруднителен и приводит к сложным зависимостям.

Геометрическая интерпретация колебаний зубчатого колеса позволяет наглядно представить виды его движения при действии различных возмущающих факторов, этом исследуемое зубчатое колесо выделяется из общей динамической системы Редуктора, а упругие связи между колесом и сопряженными с ним деталями заменяются их динамическими жесткостями [25, с. 166].

На рис. 3 представлены зависимости координаты центра вращения вдоль оси, Рулящей через центр колеса перпендикулярно линни зацепления, от частоты и Да возмущающей силы: момента относительно оси колеса, радиальной

силы, направленной перпендикулярно линни зацепления, нормальной силы, направленной вдоль линии зацепления. Параметры зубчатой пары: массы шестерни колеса моменты инерции шестерни , колеса ; радиусы основных окружностей шестерни , колеса см: жесткости опор колес жесткость зацепления кгс/см.

Крутильным колебаниям колеса соответствует координата поперечным колебаниям — координата Точки пересечения кривых и соответствуют собственным колебаниям системы.

Из анализа рис. 3 следует, что при возбуждении колебаний колеса крутящим моментом чисто крутильные колебания возникают лишь на одной частоте, соответствующей точке при возбуждении колебаний колеса нормальной силой возникают преимущественно крутильные колебания в значительном диапазоне частот (колебания считаются преимущественно крутильными, если центр колебаний лежит внутри круга радиуса .

Рис. 3

Отсюда следует, что анализ видов вынужденных колебаний зубчатых колес необходимо проводить с учетом не только жесткостных свойств системы, но и характера возмущающих сил.

Особый интерес представляет возбуждение колебаний колеса нормальной возмущающей силой В этом случае координата центра вращения определяется по формуле [25]

частота возмущающей силы т. е. определяется икерционно-жесткостными свойствами самого колеса и совершенно не зависит от параметров отброшенной части системы. Это позволяет выбором параметров колеса создавать определенные виды его движения или минимизировать усилия в некоторых упругих связях, через которые колесо соединено с корпусом редуктора, на определенных частотах возмущающей силы

Если зубчатое колесо для снижения уровня динамических сил в зацеплении и демпфирования колебаний выполнено составным (рис. 4) и между ободом и ступицей колеса установлен упругий элемент, то колебания обода по высшим формам также можно изучать изолированно от всей системы. Объясняется это тем, что колебания обода колеса по высшим формам не приводят к возникновению неуравновешенных динамических сил, передающихся на ступицу колеса, поэтому такие колебания происходят автономно и не распространяются по сопряженным элементам редуктора.

Расчетная динамическая модель обода составного зубчатого колеса представляется в виде тонкого упругого кольца, колеблющегося в упругой среде, которая

сопротивляется как радиальным, так и тангенциальным перемещениям точек кольца. Принимая линейный характер упругой связи между кольцом (ободом колеса) и средой (упругий элемент составного колеса), уравнение свободных колебаний кольца запишем в виде [25, с. 68]

где приведенные коэффициенты жесткости среды в радиальном и тангенциальном направлениях; - приведенная масса единицы длины кольца соответственно момент инерции сечения, площадь сечения и радиус нейтральной окружности кольца.

Частоты собственных колебаний кольца в упругой среде определяются из соотношения

где номер формы колебаний кольца; собственная частота колебаний свободного кольца, соответствующая форме,

Рис. 4

Коэффициенты жесткости среды зависят от номера формы и определяются из специального расчета упругого элемента на жесткость под действием гармоники сил.

Действующая на обод составного зубчатого колеса динамическая нагрузка вращается относительно обода с угловой скоростью Тогда в момент времени возмущающая сила в точке кольца (обода колеса) с координатой будет равна

Из условия замкнутости кольца вынужденные колебания описываются уравнением

где тангенциальное смещение точек кольца; расстояние от точки приложения силы на зубе до нейтральной окружности обода колеса; — частота свободных колебаний кольца.

Из этой формулы следует, что резонансные режимы колебаний кольца соответствуют частотам и Таким образом, при движущейся нагрузке число резонансных частот удваивается по сравнению со случаем, когда

Планетарный редуктор. В планетарных редукторах имеются две основные особенности, затрудняющие их динамический расчет, — многопоточность системы и повышенная податливость ободьев центральных колес, предусматриваемая обычно для более равномерного распределения нагрузки по потокам мощности. При изучении колебаний планетарных редукторов необходимо рассматривать их распространение от зубчатых зацеплений по всем трем возможным направлениям — к обоим центральным колесам и к водилу через сателлиты.

Динамическая модель планетарных редукторов включает элементы как с сосредоточенными, так и с распределенными инерционными и жесткостными параметрами. Например, солнечную шестерню, сателлиты, водило, обычно можно рассматривать как твердые тела, совершающие колебания на упругих связях (зубчатых зацеплениях, опорах). Но венец с внутренними зубьями (эпицикл) с подвеской, выполняемой обычно в виде набора тонких оболочек, следует рассматривать как систему с распределенными параметрами.

Составление уравнений, описывающих динамическое состояние планегарнык редукторов, и их решение связаны с двумя трудностями - принципиального характера (различие уравнений, описывающих поведение элементов с распределенными и с сосредоточенными параметрами — уравнения в частных производных в первом случае и обыкновенные дифференциальные уравнения — во втором) и вычислительного характера (число уравнений достаточно велико).

Для преодоления первой трудности предложено: во-первых, представлять элементы редуктора такими моделями, которые описываются однотипными обыкновенными дифференциальными уравнениями, т. е. осуществить физическую или математическую дискретизацию системы, во-вторых, осуществить разделение редуктора на такие подсистемы, в каждую из которых должны входить элементы с четко выраженными сосредоточенными или распределенными параметрами. В этом случае колебания каждой подсистемы описываются соответствующими уравнениями или системой уравнений, а о колебаниях всего редуктора следует судить, решив систему уравнений совместности деформаций для связей, по которым редуктор разбивается на подсистемы 114, с. 57]. На таком подходе построен метод динамических податливостей, позволяющий исследовать сложные динамические системы, составленные из подсистем, динамическое состояние которых описывается дифференциальными уравнениями различного типа.

Выделение простых подсистем достаточно произвольно и должно основываться на стремлении получить окончательный результат наиболее простым путем. Для планетарного редуктора целесообразно выделить следующие простые подсистемы

1) солнечную шестерню с подвеской, выполняемой в виде торсиона с ротором привода,

2) сателлиты с водилом, выполняемым в виде массивной детали, установленной на валу либо соединенной с корпусом через упругую связь; 3) эпицикл с подвеском, выполняемой обычно в виде системы зубчатых муфт-оболочек; 4) корпус редуктора, выполняемый обычно в виде оболочечной или рамной конструкции.

При исследовании свободных и вынужденных колебаний планетарных редукторов, в соответствии с методом динамических податливостей, в местах рассечения системы на простые подсистемы к каждой из подсистем прикладывают единичные возмущающие силы, изменяющиеся с определенной частотой, и выполняют расчег вынужденных колебаний каждой из подсистем отдельно под действием этих возмущающих сил. После этого составляют уравнения совместности деформаций для каждой упругой связи, по которым рассекали систему на простые подсистемы.

При динамических исследованиях планетарного редуктора следует представлять возмущающие силы, действующие на элементы редуктора и в зубчатых зацеплениях и соединениях, в виде тригонометрических рядов по полярному углу 6. В этом случае оказывается возможным проводить расчет свободных и вынужденных колебаний редуктора отдельно для каждой гармоники возмущающих сил, что в ряде случаев значительно упрощает расчет.

Так, нулевая гармоника возмущающих сил в зубчатых зацеплениях приводи? к крутильным колебаниям в системе; первая гармоника — к поперечным колебаниям центральных колес на упругой подвеске; высшие гармоники — к колебаниям ободьев центральных колес по высшим формам, причем в общем случае, когда на обод центрального колеса действует некоторая сосредоточенная сила (связанная, например, с тем, что возмущающие силы в зубчатых зацеплениях в произвольный момент времени не равны), на ободе центрального колеса будут возбуждаться все формы колебаний (начиная с первой), а не только формы, кратные числу сателлитов

Предлагается следующая последовательность расчета свободных колебании планетарного ряда в случае колебаний его элементов в плоскости, перпендикуляр ной главной оси [14, с. 57]. На рис, 5 показаны выделенные подсистемы — солнечная шестерня, сателлиты, эпицикл и водило с соответствующими упругими связями

Жесткости зубчатых зацеплений, опор сателлитов и водила представлены в виде квивалентных жесгкостей пружин причем оси пружин, имитирующие жесткости зубьев, направлены по линиям зацепления. К выделенным элементам в местах речения упругих связей приложены единичные гармонические силы

Рис. 5

Для упругоподвешенного твердого тела матрица коэффициентов динамических податливостей определяется следующим образом. Составляются уравнения движения тела под дсйавием сил

значения главных жесткостей, присоединенных к телу (в данном случае главные жесткостные и инерциальные оси совпадают); координаты Движения центра тяжести и поворота тела относительно оси направляющие косинусы и моменты единичных векторов направленных по осям пружин.

Перемещения точек в направлении векторов связаны с координатами зависимостью

Определив координаты из решения уравнений равновесия, получим связь между перемещениями точек и силами в виде

где - матрица коэффициентов динамических податлчвостей;

— транспонированная матрица

Приведенные соотношения могут быть использованы для построения матрицы динамических податливосгей выделенных подсистем.

Для солнечной шестерни матрица коэффициентов динамических податливое! ей

где

главные жесткости упругой подвески солнечной шестерни. Для сателлита матрица коэффициентов динамических податливостей

где

соответственно направляющие косинусы единичных векторов жекостей зацепления сателлита с солнечной шестерней и эпициклом.

Матрица устанавливает связь между перемещениями яичными силами

Для водила, опирающегося на две опоры, с учетом податливости этих опор матрица коэффициентов динамических податливостей, устанавливающая связь между перемещениями и единичными силами имеет

где

главные поперечные и крутильные жесткости упругой подвески водила. Приведенные в этой матрице постоянные и 13/2 справедливы для трехсателлитного планетарного редуктора.

Для случая, когда эпицикл можно считать абсолютно жестким телом (в определенном диапазоне частот), матрица коэффициентов динамических податливостей эпицикла аналогична матрице с заменой индекса на

В большинстве конструкций планетарных редукторов эпициклы изготовляют в виде тонких колец с соотношением толщины к радиусу В этом случае в качестве расчетной модели эпицикла с подвеской следует выбрать набор колец, связанных линейными упругими связями, имитирующими зубчатые соединения и участки оболочек между зубчатыми венцами муфг подвески эпицикла [25, с. 32]. Такая частичная дискретизация упругой системы эпицикла с подвеской имеет преимущество, так как позволяет учесть основную особенность системы — ее цикличность в окружном направлении. Поведение системы в осевом направлении учитывается лишь приближенно — рассмотрением конечного числа колец.

При расчете колебаний эпицикла с подвеской по высшим формам в качестве конечного элемента следует рассматривать кольцо в упругой среде, сопротивляющейся радиальным и тангенциальным смещениям [25, с. 68]. Последовательное соединение колец через упругие связи позволяет построить расчетную модель эпицикла с подвеской и определить коэффициенты динамических податливостей в местах сопряжения его с другими подсистемами.

Дифференциальные уравнения, описывающие динамическое состояние эпицикла с подвеской, в этом случае имеют вид

где - номер кольца; возмущающая сила на кольце; масса единицы длины копьца; коэффициенты жесткости упругих связей межцу кольцами в радиальном и тангенциальном направлениях, Общее выражение для коэффициентов К имеет вид

где жесткость зубьев соединения между элементами подвески — эпицикла; Ко — жесткость участков между зубчатыми венцами муфт подвески эпицикла. Разыскивая решение этих уравнений в виде

получаем перемещения колец

Коэффициент динамической псдагливости кольца силы и момента, приложенных к эпициклу,

где определяется реккурентной формуле

Коэффициент динамической податливости эпицикла

где ) для трехсателлитного редуктора.

Для приближенных расчетов эпицикл с подвеской можно рассматривать как кольцо в упругой среде, заменяя реактивное действие системы упругих муфт подвески упругой средой, препятствующей перемещению кольца в радиальном и тангенциальном направлениях. В этом случае матрица коэффициентов динамических податливое эпицикла, устанавливающая связь между перемещениями и силами имеет вид

где

изгибная жесткость эпицикла; удельные жесткости упругой среды в радиальном и тангенциальном направлениях; номер формы колебаний — угловая частота.

Определенные по приведенным зависимостям коэффициенты динамических податливостей подсистем используют для составления системы канонических уравнений Л! условия отсутствия перемещений в местах рассечения всей системы на подсистемы:

три уравнения по числу связей солнечной шестерни с сателлитами

три уравнения по числу связен эпицикла с сателлитами

три пары уравнений (для каждого сателлита)

где жесткость зубчатых зацеплений; жесткость опор сателлитов в направлении

При подстановке в эти уравнения значения где элементы матрицы получаем систему канонических уравнений и частотное уравнение В раскрытом виде частотный определитель

где

Ниже дан расчет спектра собственных частот по приведенным соотношениям трехсателитного планетарного планетарного редуктора с параметрами: см;

[14, с. 65]. Выполнено также экспериментальное исследование спектра собственных частот редуктора с помощью пьезодатчиков, установленных на основных деталях редуктора [6]. При этом возбуждение вибраций в редукторе осуществлялось от вибратора направленного действия, имитирующего возмущающие силы в зубчатых зацеплениях при статическом нагружении редуктора. В табл. 1 приведены результаты экспериментального (на разных деталях) и расчетного (для двух моделей эпицикла) определения спектра собственных частот шевронного редуктора. Из анализа табл. 1 следует, что учет упругих свойств обода эпицикла дает увеличенный спектр частот и лучшее соответствие экспериментальных и расчетных данных.

1. Спектр собственных частот редуктора (Гц)

(см. скан)

Уточнение коэффициентов динамических податливостей эпицикла при принятом методе расчета не изменяет порядок частотного определителя, а приводит лишь к изменению его элементов, содержащих коэффициенты Поскольку определение выполняется обычно по специально составленной подпрограмме, то уточнение коэффициентов приведет лишь к изменению этой подпрограммы, не влияя на всю программу расчета спектра собственных частот планетарного редуктора на ЭВМ. Увеличение числа сателлитов приводит к соответствующему увеличению числа однотипны блоков в частотном определителе, однако структура этого определителя не изменяется. Постоянство структуры определителя при любом числе сателлитов облегчает задачу программирования для вычислений на ЭВМ.

При расчете вынужденных колебаний планетарных редукторов целесообразно использовать метод динамических податливостей. В отличие от изложенного выше метода расчета собственных частот планетарного редуктора в этом методе учитываются также возмущающие силы двух типов — силы небаланса, действующие на детали,

и возмущающие силы в зубчатых зацеплениях [18]. Общее матричное уравнение для системы составленное относительно внутренних сил к в связях, по которым осуществляется разделение системы на подсистемы, имеет вид

матрицы динамических податливостей; — матрицы-столбцы возмущающих сил, действующих по связям и приложенных к центрам тяжести талей, умноженных на соответствующие коэффициенты динамических податливостей 3. Углы фазовых сдвигов.

Порядок этого матричного уравнения по-прежнему равен чнслу связей, по которым осуществлялось выделение подсистем (для трехсателлитного редуктора он равен