4. КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВОГО РОТОРА В ПОЛЕ СИЛ ТЯЖЕСТИ
Общим случаем описанной динамической модели будет многомассовая гиросистема (рис. 8), используемая для решения большинства прикладных задач [5, 6]. Здесь рассматриваются колебания только подвесного ротора.
Схема многомассового ротора представлена в виде невесомого вала, в сечениях которого с абсциссами 
расположены 
твердых симметричных тел (рис. 8, а). Их массы 
а полярные и центральные экваториальные моменты инерции соответственно 
Упругий элемент в точке подвеса имеет угловую жесткость 
. На валу в точках с абсциссами 
расположены упругие опоры с линейными характеристиками жесткостью 
Постоянная угловая скорость вращения ротора 
Свободные колебания. В этом случае предполагается, что все 
сосредоточенных масс уравновешены, их центры расположены на изогнутой оси вала, а оси симметрии совпадают с касательными к упругой линии гиросистемы в точках 
Положение центра инерции 
тела относительно неподвижных осей 
определяется двумя сферическими координатами 
а его оси симметрии относительно сферической системы координат 
углами Резаля 
и 
(рис. 8, б).
Сохраняя прежний, как в п. 2, способ отсчета прогибов вала от прямой 
соединяющей точку подвеса с центром инерции нижней массы, сферические координаты 
тела можно записать в виде
(кликните для просмотра скана)
Из рассмотрения деформированного состояния вала следует, что
Введение комплексных функций
дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет прогиб вала на 
участке между 
массами, свободном от реакций упругих опор,
здесь 
постоянная на данном участке жесткость вала на изгиб;
Из (3) и (4) для 
с учетом (24), (25) силы и моменты равны
Основные параметры в верхнем сечении 
участка определяются вектором 
в котором 
или, при безразмерной форме, 
После подстановки 
постоянные амплитуды) в (27), интегрирования (26) и перехода к безразмерной форме (опуская звездочки в обозначениях) имеем
Здесь 
угловая скорость прецессии многомассовой гиросистемы; 
матрица начальных значений;
где 
а остальные величины известны из (6) и (11).
Матричная зависимость, устанавливающая связь между основными параметрами верхних сечений 
участков (рис. 8, а), включает полученную с помощью общего решения дифференциального уравнения (26)
матрицу жесткости
где 
а также матрицы массы
и упругих опор
Ее результирующая запись имеет вид
или
Последовательное применение (28), (29) позволяет получить вектор основных параметров вблизи точки подвеса:
где
С учетом граничных условий в точке опоры и (30) уравнение частот изгибных колебаний многомассовых подвесных роторов в поле сил тяжести будет
Здесь 
известные функции 
и 
Вынужденные колебания. Статическая неуравновешенность 
диска создается точечной массой, дисбаланс которой 
причем его вектор образует угол 
с осью 
системы координат 
неизменно связанной с ротором. Положение этой системы относительно осей Резаля задается углом собственного вращения 
(см. рис. 8, б). В этом случае
где 
получена из 
в которой 
а вектор 
В рассматриваемом случае зависимость (28) будет
причем
В сечении 
точки подвеса
где 
получается из (30) заменой 
на 
а
Из граничных условий в точке опоры следует
где 
— элементы матрицы 
в которой 
элемент матрицы столбца
Рис. 9
Из (32) определяются амплитуды 
а по ним и все остальные величины, характеризующие геометрию и напряженное состояние упругой линии ротора
Критические скорости удовлетворяют уравнению 
полученному из (31), в котором полагают 
Таким же способом можно записать аналогичные формулы для зонтичных роторов [5, 7]
В качестве приложения рассматриваются колебания в поле сил тяжести подвесного ротора высокоскоростной ультрацентрифуги (рис 9) Системы отсчета приведены на рис 9, а, размеры ротора даны на рис 9, б
Влияние поля сил тяжести на его собственные колебания оценивается отноше нием угловых скоростей прецессии 
вычисленных соответственно из (31) и из
уравнения частот, аналогичного (19), отвечающего обычной модели гибкого ротора,
На рис, 10 представлены зависимости отношения низших угловых скоростей прямой 
и обратной 
прецессий при 
Рис. 10
В области 
(рис. 10, а) влияние поля сил тяжестинаиболее заметно Интенсивное возрастание отношения низших скоростей обратной прецессии 
имеет место в интервале 
(рис 10,6) Анализ указанньх зависимостей иллюстрируется числовыми данными в табл 
Влияние формы Движения как гиромаятника при вынужденных колебаниях ротора обнаруживается сравнением критических скоростей, упругих линий вала и амплитуд центра масс ротора.
2. Зависимость отношений 
от параметра а при 
(см. скан)
3. Зависимость отношений 
от параметра 
при 
(см. скан)
4. Зависимость отношений 
от параметра 
при 
(см. скан)
5. Зависимость отношения 
от параметра а при 
(см. скан)
На рис. 11 приведено отношение критических скоростей прямой прецессии ротора ультрацентрифуги 
полученных из (31) и (33), в которых 
при тех же значениях 
Зависимость характеризуется значительным возрастанием 
(табл. 6).
Рис. 11
Рис. 12
На рис. 12 построены упругие линии вала и показаны амплитуды центра масс при вынужденных колебаниях ротора от дисбаланса для обеих динамических моделей, когда 
Их сопоставление выявляет
заметное влияние поля сил тяжести (рис. 12, а) на вынужденные колебания при данном соотношении параметров, так что амплитуды центра масс ротора в обоих случаях имеют разные знаки, а прогибы гибкого вала существенно больше для модели, не учитывающей воздействие указанного поля (рис. 12, б).
6. Зависимость отношения 
от параметра 
при 
(см. скан)
